En grupos topológicos. ¿Es cada vecindad de $e$ supset de un cuadrado de una vecindad simétrica de $e$ ?

Question

Sea $G$ sea un grupo topológico, $U$ es una vecindad de $e$ que es el elemento unitario de $G$ .

Mi pregunta es si existe un barrio $H \subseteq U$ de $e$ s.t.

1. $H^{-1}=H$
2. $H\cdot H\subseteq U$ ?

He intentado encontrar un $H$ es un subgrupo, pero en algunos casos no funciona.

Answer 1

Gracias a la sugerencia de KCd. Déjame intentarlo.

Prueba.

Es inofensivo suponer $U$ está abierto.

Desde $G$ es un grupo topológico, $\cdot^{-1}[U]$ está abierto y contiene $(e,e)$ por lo que existe un $A \times B$ en el que $A$ y $B$ están ambos abiertos, contiene $(e,e)$ y $\subseteq \cdot^{-1}[U]$ . En consecuencia $V \times V$ es una vecindad abierta de $(e,e)$ también, en el que $V=(A \cap B) \cap (A \cap B)^{-1}$ . Tenga en cuenta que $\cdot$ es un mapeo abierto, por lo que $V \cdot V$ está abierto. Además de $e \in V \cdot V \subseteq U$ desde $(e,e) \in V \times V \subseteq \cdot^{-1}[U]$ . Además $V^{-1}=V$ .

Por lo tanto $V$ cumple todas las condiciones requeridas.

$\Box$