Para la segunda pregunta $m=2, n=3$ . Podemos dibujar fácilmente círculos arborescentes cada par de los cuales se interseca y los tres tienen intersección vacía. Así que la respuesta es negativa.
En cuanto a la primera, un conjunto convexo $X$ tiene, por definición, la propiedad de que para dos puntos cualesquiera $u, v \in X$ punto $au + (1-a)v$ pertenece a $X$ para cualquier $a \in [0, 1]$ . En cualquier caso, todo el segmento entre $u$ y $v$ pone en $X$ .
Tomemos cuatro puntos $p_1 \in C_2 \cap C_3 \cap C_4$ , $p_2 \in C_1 \cap C_3 \cap C_4$ , $p_3 \in C_1\cap C_2 \cap C_4$ y $p_4 \in C_1 \cap C_2 \cap C_3$ .
De la definición de conjunto convexo, $[p_1, p_2] \subset C_3 \cap C_4$ , $[p_1, p_3] \subset C_2 \cap C_4$ , $[p_1, p_4] \subset C_2 \cap C_3$ , $[p_2, p_3] \subset C_1 \cap C_4$ , $[p_2, p_4] \subset C_1 \cap C_3$ y $[p_3, p_4] \subset C_1 \cap C_2$ .
A continuación consideramos el casco convexo de estos puntos. Puede ser un único punto, un segmento, un triángulo o un cuadrángulo.
- Si es un solo punto - está en la intersección de todos los conjuntos
- Si es un segmento, entonces todos sus puntos pertenecen, podemos suponer w.l.o.g podemos suponer que sus extremos son $p_1$ y $p_2$ . Así que $C_1\cap C_2 \supset [p_3, p_4] \subset [p_1, p_2] \subset C_3 \cap C_4$ lo que significa que la intersección no está vacía.
- Para un triángulo (w.l.o.g.) en $p_1, p_2, p_3$ y $p_4$ está dentro del triángulo. Es fácil ver que los vértices del triángulo están en $C_4$ por lo que todo el triángulo pertenece a $C_4$ incluyendo $p_4$ que también pertenece a otros tres conjuntos.
- Si el casco convexo es un cuadrilátero, podemos suponer que $[p_1, p_2]$ y $[p_3, p_4]$ son sus diagonales. Y como el cuadrilátero es convexo, las diagonales se intersecan. De nuevo es fácil comprobar que el punto de intersección pertenece a todos los conjuntos.
q.e.d.
