¿Se ha trabajado con éxito con el anillo completo de operadores diferenciales en la característica p?

Question

Esta pregunta se inspira en una anterior sobre la posibilidad de utilizar el anillo completo de operadores diferenciales en una variedad bandera para desarrollar una teoría de localización en característica $p$ . (Aquí por anillo completo de operadores diferenciales entiendo lo mismo que por anillo de operadores diferenciales de potencias divididas, que es la terminología utilizada en la pregunta citada).

Mi pregunta es:

¿Hay alguien que haya utilizado con éxito el anillo completo de operadores diferenciales en la característica $p$ (para localización u otros fines)?

Este anillo siempre me ha parecido algo desagradable (sus secciones sobre afines no son noeterianas, y, si no recuerdo mal un cálculo que hice hace mucho tiempo, la gavilla de estructura ${\mathcal O}_X$ no es perfecto sobre ${\mathcal D}_X$ ). ¿Existen formas de evitar estos defectos técnicos? (¿O me equivoco al considerarlos defectos técnicos, o estoy ¿o me equivoco de cabo a rabo?)

EDIT: Permítanme añadir un poco más de motivación para mi pregunta, inspirada en parte por la respuesta de Hailong y comentarios asociados. Una característica general de la cohomología local en char. p es que no se tiene la sutil teoría de los polinomios de Bernstein que se tiene en char. 0. Véase, por ejemplo el artículo de Alvarez-Montaner, Blickle y Lyubeznik citado por Hailong en su respuesta. Lo que no entiendo es si esto significa que (por ejemplo) la localización con el anillo completo de operaciones diferenciales es desesperada (porque las respuestas serían demasiado simples), o una perspectiva maravillosa (porque las respuestas serían muy simples).

Answer 1

Smith y Van den Bergh trabajaron con él y obtuvieron unos resultados magníficos, en este documento . 1 Por ejemplo, muestran que los sumandos directos de anillos de polinomios tienen anillos simples de operadores diferenciales en característica positiva. Esto sigue abierto (que yo sepa) en característica 0.

Es un artículo especialmente interesante por las conexiones que establece con los tipos de representación.

1 Smith, Karen E.; Van den Bergh, Michel , Simplicidad de anillos de operadores diferenciales en característica primera Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 75, nº 1, 32-62 (1997). ZBL0948.16019 , MR1444312 .

Answer 2

Puede que esto no sea lo que está buscando, ya que utilizan el anillo completo real de operadores diferenciales (en la teoría de Berthelot, su "anillo completo" sería $D^{(0)}$ si no he entendido mal), pero los siguientes documentos son muy bonitos en mi opinión:

Gieseker, D. - Haces vectoriales planos y el grupo fundamental en características distintas de cero.

dos Santos, João Pedro Pinto - Fundamental group schemes for stratified sheaves. J. Algebra 317 (2007), no. 2, 691--713.

Hélène Esnault, Vikram Mehta - Múltiplos proyectivos simplemente conectados en característica $p>0$ no tienen haces estratificados no triviales

Por supuesto, se dará cuenta rápidamente de que en todos los casos se pierde el sabor del módulo D, ya que un $O_X$ -módulo D coherente puede trasladarse al mundo de los haces vectoriales gracias al descenso de Frobenius.

Answer 3

Ciertamente, el hecho de que el anillo de operadores diferenciales no sea noetheriano es un inconveniente, pero no está claro si es algo más que eso. Por ejemplo, se puede definir la noción de módulo holonómico. No es una traducción directa de la definición de la característica cero (y esto sin duda está relacionado con este inconveniente), pero una vez dada parece funcionar tan bien como en la característica cero:

MR1918185 (2003h:14030) Bögvad, Rikard(S-STOC) Un análogo de los módulos D holonómicos sobre variedades lisas en características positivas. (Resumen en inglés) El volumen Roos Festschrift, 1. Homology Homotopy Appl. 4 (2002), no. 2, part 1, 83-116. 14F10 (16S32 32C38)

Answer 4

Estimado Matt: Las personas que están trabajando activamente en esto y que conozco son Genady Lyubeznik y Manuel Blickle . El punto clave parece ser que ciertos $R[F]$ -los módulos se simplifican cuando se ven como $D_R$ -módulos (aquí $F$ es el Frobenius). Se ha aplicado para demostrar que ciertos módulos de cohomología local sobre anillos locales regulares en característica positiva tienen finitamente muchos primos asociados. Hay ejemplos en los siguientes artículos:

• Estructura de módulos D de los módulos R[F] Trans. Am. Math. Soc 355 (2003), 4, 1647-1668, y

• Generadores de módulos D en característica positiva Math. Res. Lett. 12 (2005), no. 4, 459-473,

y sus referencias. También existe este nuevo preprint, Lyubeznik, Zhang y Zhang, Una propiedad del mapa de Frobenius de un anillo polinómico que puede ser de interés.