Pequeño teorema de Fermat para números enteros p-ádicos

Question

Sólo una pregunta breve:

¿Es aplicable el pequeño teorema de Fermat a los números enteros p-ádicos? $\mathbb Z_p$ ? En caso afirmativo, ¿por qué?

Answer 1

El pequeño teorema de Fermat dice que $a^p \equiv a \bmod p\mathbb{Z}$ para $a \in \mathbb{Z}$ y $p$ de primera. El mismo resultado vale para $p$ -ya que $\mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ Así que $a^p \equiv a \bmod p\mathbb{Z}$ cuando $a ∈ \mathbb{Z}_p$ .

Answer 2

He aquí una aplicación ingeniosa, aunque de muy poca importancia, del Pequeño Fermat general: sea $K$ sea una extensión de campo finito de $\Bbb Q_p$ . con anillo de enteros (locales) $\mathscr O$ y teniendo esta última un ideal máximo $\mathfrak m$ . Entonces $\mathscr O/\mathfrak m$ será un campo finito con (digamos) $q=p^f$ elementos. Ahora dejemos que $z\in\mathscr O\setminus\mathfrak m$ es decir, un elemento unitario de $K$ . Si se toma la secuencia $z,z^q,z^{q^2},\cdots$ donde cada entrada se obtiene elevando la anterior al valor $q$ -ésima potencia, tendrás una secuencia convergente a la $(q-1)$ -ésima raíz de la unidad en $\mathscr O$ que es congruente con $z$ modulo $\mathfrak m$ .

Un ejemplo: $p=q=5$ Toma $2,2^5,2^{25},2^{125},\cdots$ y el límite será una raíz cuadrada de $-1$ sur $\Bbb Z_5$ .