Finidng el límite infinito de $\coth$ función.

Question

Tengo la función:

$$ g(x) = \lim_{J \to +\infty} \frac{1}{2J} \coth(\frac{x}{2J}) $$

En las respuestas que da:

$$ g(x) = \frac{1}{2J}\frac{2J}{x} $$ .

No entiendo cómo se encontró el límite infinito de la función coth. Cualquier ayuda será apreciada, ¡gracias!

Editar: Parte de la pregunta más amplia:

$$ L(x) = \lim_{J \to +\infty} \Big[ \frac{1}{J} f_{2J+1} \Big( \frac{x}{J} \Big) \Big], $$ donde la función de Brilllouin, $f_n(x)$ se define por:

$$ f_n(x) = \frac{n}{2} \coth \Big( \frac{nx}{2} \Big) - \frac{1}{2} \coth \Big( \frac{x}{2} \Big). $$

Y sustituyendo esto en da:

$$ L(x) = \lim_{J \to +\infty} \frac{1}{J} \Big[ (J + \frac{1}{2}) \coth \Big[(1 + \frac{1}{2J})x \Big] - \frac{1}{2}\coth(\frac{x}{2J}) \Big] $$

Answer 1

Para los pequeños $y$ , $\coth y\sim\frac1y$ . En $J\to\infty$ , $\frac{x}{2J}\to0$ así que $\coth\frac{x}{2J}\sim\frac{1}{\frac{x}{2J}}=\frac{2J}{x}$ . Por lo tanto $\frac{1}{2J}\coth\frac{x}{2J}\sim\frac1x$ .

Answer 2

Para los pequeños $x$ , $\operatorname{sinh}(x) \cong x$ y $\operatorname{cosh}(x) \cong 1$ por expansión de Taylor hasta primer orden. Por lo tanto, $\operatorname{coth}(x) = \operatorname{cosh}(x)/\operatorname{sinh}(x)\cong 1/x$ . No se tienen en cuenta órdenes superiores como en el límite de grandes $x$ se puede ver fácilmente que caen fuera del límite que queremos tomar (para ser matemáticamente preciso, se necesitaría una discusión más elaborada aquí, pero veo que estás haciendo física así que esto debería funcionar).

Con eso, deberías ver fácilmente lo que ocurre aquí.

Answer 3

He aquí otra forma de verlo $\coth x \sim \frac{1}{x}$ cuando $x$ es pequeño:

$$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$$

Para los pequeños $x$ , $e^x \approx 1 + x$ a partir de los dos primeros términos de su serie de Taylor. Por lo tanto:

$$\coth x \approx \frac{1+x+1-x}{1+x-(1-x)} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$$

Answer 4

En cuanto a su versión "simple" de $L(x)$ , @J.G. y otros ya te han dado todos los detalles. Ahora aplica estas reglas para encontrar (para la expresión completa de $L$ ), $$ L(x) = \lim_{J \to +\infty} \frac{1}{J} \Big[ (J + \frac{1}{2}) \coth \Big[(1 + \frac{1}{2J})x \Big] - \frac{1}{2}\coth(\frac{x}{2J}) \Big] = \coth(x)-\frac{1}{x} $$