explosión, curvas -1, divisores efectivos y amplios

Question

Supongamos que estamos en una superficie lisa, y explotamos en un punto. ¿Existe algún cálculo explícito sencillo que me demuestre el hecho de que el divisor excepcional E tiene autointersección -1 ? No considero explícito el divisor canónico (pero estoy abierto a ello). Sí considero explícito el pirateo de series de potencias.

Estoy bastante desconcertado por este -1. ¿Es E eficaz (parece serlo, por definición?). ¿Es E amplio (parece que no, por cosas del tipo Nakai-Mozeishon)? En términos más generales, solía pensar que tanto la eficacia como la amplitud eran medidas de "positividad"; pero quizá esté equivocado: ¿qué tienen que ver la eficacia y la amplitud?

¿Qué ocurre localmente en un punto de intersección -1? Pensaba que dos curvas irreducibles sobre una superficie debían intersecarse o bien en 0 puntos, o bien en un número positivo de puntos. Para hallar E.E habría intentado mover E a algún otro divisor, y entonces obtendría E.E = 0 o no negativo.

Perdón por las múltiples preguntas, pero estoy muy angustiada :(

Answer 1

Querido compañero,

No puedes moverte $E$ (!), por lo que no hay contradicción con que tenga auto-intersección -1. De hecho, si se toma un campo vectorial normal a lo largo de $E$ tendrá necesariamente grado -1 (es decir el número total de polos es uno más que el número total de ceros), o (equivalentemente), el haz normal a $E$ en la superficie volada es $\mathcal O(-1)$ .

[Añadido:] He aquí una versión del argumento dado en la respuesta de David Speyer, que es riguroso modulo hechos básicos acerca de la teoría de la intersección:

Elige dos curvas suaves muy amplias $C_1$ y $C_2$ que pasa por el punto $P$ siendo inflados en diferentes direcciones tangentes. (Podemos construirlas usando secciones de hiperplanos en alguna incrustación proyectiva, usando Bertini; la suavidad es sólo porque quiero $P$ un punto simple en cada uno de ellos). Si el $C_i$ reunirse en $n$ apunta lejos de $P$ entonces $C_1\cdot C_2 = n+1$ .

Ahora tire hacia atrás del $C_i$ a las curvas $D_i$ en el reventón. Tenemos $D_1 \cdot D_2 = n + 1$ . Ahora porque $C_i$ pasa a través de $P$ Cada $D_i$ tiene la forma $D_i = D_i' + E,$ donde $D_i'$ es la transformada propia de $C_i$ y pasa por $E$ en un único punto (correspondiente a la dirección tangente a lo largo de la cual $C_i$ atravesado $P$ ). Así, $D_1'\cdot D_2' = n$ (lejos de $P$ nada ha cambiado, pero en $P$ hemos separado las curvas $C_1$ y $C_2$ a través de nuestra ampliación).

Ahora calcula $n+1 = D_1\cdot D_2 = D_1'\cdot D_2' + D_1'\cdot E + E\cdot D_2' + E\cdot E = n + 1 + 1 + E\cdot E$ demostrando que $E\cdot E = -1$ . (Como se hace a menudo, calculamos la intersección de curvas que no podemos mover a una intersección adecuada añadiendo suficiente material extra para que podamos calcular la intersección resultante moviendo las curvas a la posición adecuada).

Answer 2

En primer lugar, no hay contradicción. Si tomas otro representante del mismo sistema lineal, éste tendrá que tener algunos coeficientes negativos. Puedes calcular intersecciones contando puntos sólo cuando la intersección es transversal (o al menos adecuada si cuentas multiplicidades) y ciertamente $E$ no es transversal a sí misma.

Desde otro punto de vista, el espacio tangente a las deformaciones espaciales de $E$ en $S$ en el punto $[E]$ es $T_{[E]} Def = H^0 ( N_{E/S})$ y este último es cero. En efecto, por adjunción $N_{E/S} = \mathcal{O}_S(E) |_E = \mathcal{O}_E(-1)$ . Así que no sólo su sistema lineal sólo contiene el punto $[E]$ ; no hay forma de deformar $E$ en absoluto (ni siquiera de forma no lineal).

En cuanto al cálculo, digamos $S$ es la ampliación de $T$ en el punto $p$ , dejemos que $f \colon S \to T$ sea el reventón. Tomemos cualquier curva $C$ de paso $p$ con multiplicidad $1$ Entonces $f^{*}(C) = \widetilde{C} + E$ donde $\widetilde{C}$ es la transformación estricta.

Por la fórmula push-pull $E \cdot f^{*}(C) = f_{*}(E) \cdot C = 0$ Por lo tanto $E \cdot \widetilde{C} = - E^2$ . Pero $E \cdot \widetilde{C} = 1$ porque se cruzan transversalmente en un punto y ¡listo!

Answer 3

Que $E$ tiene auto-intersección $-1$ es la Proposición V.3.1 de Hartshorne. La relación entre efectividad y amplitud es más clara en el caso de divisores en una curva donde un divisor (no linealmente trivial) tiene grado mayor que $0$ si y sólo si es amplia (Hartshorne IV.3.3). Así que, ciertamente, para las curvas la validez implica amplitud. Por otra parte, incluso en curvas, existen divisores amplios que no son eficaces, por ejemplo, consideremos una curva suave no hiperelíptica de género al menos $3$ y tomar el divisor $2p-q$ para $p,q$ puntos de la curva. Esto es amplio pero no eficaz.

En cuanto a cómo pensar en la amplitud en general, un divisor es amplio si y sólo si alguna potencia tensorial del mismo es muy amplia (Hartshorne II.7.6), y es conveniente pensar en la amplitud ya que básicamente dice que tienes una incrustación en un espacio proyectivo y que la gavilla localmente libre de rango $1$ asociado al divisor es el pullback de $\mathcal{O}(1)$ del espacio proyectivo. Por último, una curva puede tener auto-intersección negativa sólo consigo misma, ¡así que puedes seguir confiando en que el teorema de Bezout funcione como lo hace tu intuición! Además, como puedes ver, ¡todas las afirmaciones anteriores están en Hartshorne!

Answer 4

El argumento intuitivo es el siguiente: Sea $D$ sea un gráfico local en su superficie lisa, con coordenadas $(z,w)$ y con $(0,0)$ el punto de ser volado. Deje que $\pi: D' \to D$ sea el reventón, con $E$ la curva $\pi^{-1}{\large (}(0,0){\large )}$ . Consideremos la intersección de $X_t := \pi^{-1} \left( \{ x = t \} \right)$ y $Y_u := \pi^{-1} {\large (}\{ y = u\} {\large )}$ .

En $t$ y $u$ no son cero, se trata de curvas suaves, que se encuentran transversalmente en $(t,u)$ por lo que se cruzan con multiplicidad $1$ . En $t$ se convierte en $0$ , $X_0$ se divide en dos partes $X' \cup E$ . Para $u$ distinto de cero, $Y_u$ echa de menos $E$ y se reúne $X'$ transversalmente, por lo que la intersección sigue siendo $1$ . Del mismo modo, $Y_0 = E \cup Y'$ .

Ahora, dejemos que $t=u=0$ . Queremos calcular $$\langle X_0, Y_0 \rangle = \langle X'+E,\ Y'+E \rangle = \langle X', Y' \rangle + \langle X', E \rangle + \langle E, Y' \rangle + \langle E, E \rangle.$$

Por continuidad, el lado izquierdo debería ser $1$ . $X_0$ y $Y_0$ se echan de menos, y $E$ conoce $X_0$ y $Y_0$ transversalmente. Obtenemos $$1 = 0 + 1 + 1 + \langle E, E \rangle$$ así que $$ \langle E,E \rangle = -1.$$

Answer 5

Escriba a $\mathbb{CP}^1$ como dos copias de $\mathbb{C}$ con coordenadas $z_1$ y $z_2$ respectivamente, pegados a lo largo del mapa $z_1 \mapsto z_2=\frac{1}{z_1}$ en $z_1\neq 0$ .

Escriba el paquete de líneas $\mathcal{O}(-1) \rightarrow \mathbb{CP}^1$ como dos copias de $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ con coordenadas $(z_1, v_1)$ y $(z_2,v_2)$ respectivamente, pegados a lo largo del mapa $(z_1,v_1) \mapsto (z_2, v_2) = (\frac{1}{z_1}, z_1 v_1)$ en $z_1\neq 0$ . Denotemos la sección cero por $Z$ .

Por definición de blow-up, existe un isomorfismo holomorfo desde una pequeña vecindad de E a una vecindad de $Z$ y este isomorfismo envía $E$ a $Z$ .

Por lo tanto, basta con calcular la autointersección de $Z$ . Se trata de una noción topológica, por lo que lo natural es encontrar un ciclo $\gamma$ homólogo a $Z$ y la intersección de $Z$ transversalmente. (No se puede pedir $\gamma$ para ser un divisor: $Z$ es el único divisor compacto en $\mathcal{O}(-1)$ .)

Construir un $\gamma$ como continuo sección de $\mathcal{O}(-1)$ : en $\vert z_1 \vert \leq 1$ Toma $z_1 \mapsto (z_1,v_1=1)$ seguir $\vert z_2 \vert \leq 1$ Toma $z_2 \mapsto (z_2,v_2= \overline{z_2})$ . Sobre el solapamiento $\vert z_1 \vert=1= \vert z_2 \vert$ tenemos $v_2= \overline{z_2} = \frac{1}{z_2} = z_1 = z_1 v_1$ según sea necesario.

Una homotopía de $Z$ a $\gamma$ viene dado por $z_1 \mapsto (z_1,t)$ y $z_2 \mapsto (z_2, t\ \overline{z_2})$ para $t\in [0,1]$ . En particular (la imagen de) $\gamma$ es homólogo a $Z$ .

El único punto de intersección de $\gamma$ y $Z$ está en $(z_2,v_2)=(0,0)$ . Allí, la orientación de $Z$ dada por su estructura compleja está representada por los vectores $(1,0)$ y $(i,0)$ . Empujando esta orientación con la homotopía anterior se obtiene la orientación para $\gamma$ representado por $(1,1)$ y $(i,-i)$ .

En $\mathbb{R}$ -base de $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ dado por $(1,0)$ , $(i,0)$ , $(1,1)$ y $(i,-i)$ tiene la misma orientación que $(1,0)$ , $(i,0)$ , $(0,1)$ y $(0,-i)$ que es negativo. Conclusión: $Z.\gamma = -1$ Así que $Z.Z=-1$ Así que $E.E=-1$ .