Prueba lógica de que $P \Leftrightarrow Q$ es lo mismo que $ (P \lor Q) \rightarrow (P \land Q)$

Question

¿Cómo es posible demostrar que $P \Leftrightarrow Q$ es lo mismo que $ (P \lor Q) \rightarrow (P \land Q)$ utilizando las leyes de la lógica?

Answer 1

En primer lugar, puede reescribir $(P∨Q)→(P∧Q)$ como $\lnot (P∨Q)∨(P∧Q)$ .

A continuación, utilice Leyes de Morgan es decir : $¬(P∨Q)$ es equivalente a $(¬P∧¬Q)$ para obtener :

$(¬P∧¬Q)∨(P∧Q)$ .

Entonces necesita el Propiedad ditributiva de las conectivas funcionales de verdad para transformar la última fórmula en :

$[(¬P∧¬Q) \lor P] \land [(¬P∧¬Q) \lor Q]$

y aplaudir de nuevo :

$(\lnot P \lor P ) \land (\lnot Q \lor P) \land (\lnot P \lor Q) \land (\lnot Q \lor Q)$ .

Por último, utilizamos el Leyes de identidad : $\lnot P \lor P \equiv T$ y $T \land P \equiv P$ para simplificar la fórmula y obtener :

$(\lnot Q \lor P) \land (\lnot P \lor Q)$ .

Pero esto es : $P \leftrightarrow Q$ .

Nota

Puede encontrar un resumen útil de los conceptos principales y de las leyes implicadas en la prueba anterior en esto presentación .

Answer 2

Puede demostrar que $P\Rightarrow Q, Q\Rightarrow P \dashv\vdash (P\lor Q)\Rightarrow (P\land Q)$ demostrando primero que $P\Rightarrow Q, Q\Rightarrow P \vdash (P\lor Q) \Rightarrow (P\land Q)$ y luego que $(P\lor Q) \Rightarrow (P\land Q)\vdash (P\Rightarrow Q) \land (Q\Rightarrow P)$ :