¿Por qué "h" es la notación para los números de clase?

Question

Un estudiante me preguntó por qué $\mathcal{O}_K$ es la notación utilizada para el anillo de enteros en un campo numérico $K$ y por qué $h$ es la notación para los números de clase. Pude decirle el origen de $\mathcal{O}$ (del uso que hace Dedekind de Ordnung, la palabra alemana para orden, que fue tomada de la taxonomía del mismo modo que las palabras clase y género habían sido robadas para su uso matemático antes que él), pero me quedé perplejo con $h$ . ¿Alguien por ahí sabe cómo $h$ ¿lo adoptaron?

Tengo una copia de los apuntes de Dirichlet sobre teoría de números (los que editó Dedekind con sus famosos suplementos que exponen la teoría de los ideales), y en ellos utiliza $h$ . Así que esta convención se remonta al menos a Dirichlet -- ¿o quizás a Dedekind? -- ¿pero es ahí donde empieza la notación? E incluso si es así, ¿por qué la letra $h$ ?

Había sugerido en broma al estudiante que $h$ era para Hilbert, pero entonces le dije enseguida que no tenía sentido histórico (Hilbert era demasiado tardío cronológicamente).

Answer 1

Gauss, en sus Disquisitiones, utilizaba una notación ad hoc para el número de clase cuando lo necesitaba. Dirichlet utilizó h para el número de clase en 1838, cuando demostró la fórmula del número de clase para formas cuadráticas binarias. Dudo que pensara en la "Hauptform" a este respecto, ya que entonces la estructura de grupos no era tan omnipresente como ahora, y el resultado de que $Q^h$ es la forma principal era conocida (y se escribía de forma aditiva), pero no desempeñaba ningún papel. Kummer, 10 años más tarde, utilizó H para el número de clase del campo de raíces p-ésimas de la unidad, y h para el número de clase de un subcampo generado por períodos de Gaussiam (y "demostró" que $h \mid H$ ); en la introducción cita extensamente el trabajo de Dirichlet sobre las formas.

Answer 2

Siempre había pensado que significaba Haupt (director) porque los ideales se convierten en director después de ser criado en el poder $h$ . Sin embargo, no tengo ninguna referencia histórica.

Answer 3

F. Cajori da varias indicaciones en su Historia de las notaciones matemáticas Vol. 2, página 40. Creo (es un poco confuso...) que atribuye la notación a Kronecker, refiriéndose a Dickson's Historia vol. 3, página 93. Dickson, a su vez, en la página 138 de ese volumen, nos dice que Kronecker utiliza esa notación en [Sitzungsberichte Akad. d. Wissensch. (Berlín, 1885), Vol. II, págs. 768-80].

Aparentemente había introducido números $F(d)$ , $G(d)$ , $E(d)$ y cuando necesitaba uno más, utilizaba $H$ :P

(Siguiendo leyendo, encontramos la primera aparición de una minúscula $h$ en Dickson refiriéndose a un trabajo de Weber (Göttingen Nachr., 1893, 138--147, 263--4), así que---ya que Dickson usa notación de los trabajos que cita, podemos culpar a Weber del cambio de caso)