Una maravillosa pieza de matemática clásica, bien conocida sobre todo por los combinatorialistas y la gente del análisis complejo, y que, en mi opinión, merece más popularidad incluso en la matemática elemental, es el teorema de inversión de Lagrange para series de potencias (incluso en el contexto formal).
Partiendo de la secuencia exacta
$0 \rightarrow \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}((z)) \xrightarrow{D} \mathbb{C}((z)) \;\xrightarrow{ \mathrm{Res} }\; \mathbb{C} \rightarrow 0,$
y utilizando las sencillas reglas de la derivada formal D y del residuo formal Res (que por definición es la forma lineal que toma la serie formal de Laurent $f(z)=\sum_{k=m}^{\infty}f_k z^k \in \mathbb{C}((z))$ al coeficiente $f_{-1}$ de $z^{-1}$ ) se demuestra fácilmente:
( Fórmula de inversión de Lagrange ): Si $f(z):=\sum_{k=1}^{\infty}f_k z^k\in \mathbb{C}[[z]]$ y $g(z):=\sum_{k=1}^{\infty}g_k z^k\in\mathbb{C}[[z]]$ son inversamente proporcionales entre sí, el coeficientes de las potencias (multiplicativas) de $f$ y $g$ están vinculados por la fórmula $$n[z^n]g^k=k[z^{-k}]f^{-n},$$ y en particular (para $k=1$ ), $$[z^n]g=\frac{1}{n} \mathrm{Res}( f^{-n} ).$$
(para quien no lo supiera: disfruta calculando la expansión en serie de potencias de la composición inversa de $f(z):=z+z^m$ , o de $f(z):=z\exp(z),$ y de sus poderes).
Mi pregunta ¿Cuáles son las generalizaciones de este teorema en un contexto más amplio? Quiero decir, del mismo modo que, por poner un ejemplo, la arquetípica EDO $u'=\lambda u$ procrea la teoría de semigrupos de evolución en espacios de Banach.
Además, me gustaría aprender alguna aplicación interesante de este teorema clásico.
(notación: para $f=\sum_{k=m}^{\infty}f_k z^k \in \mathbb{C}((z))$ el símbolo $[z^k]f$ representa, por supuesto, el coeficiente $f_{k}$ )
