No, no es cierto si $X$ no está conectada localmente. Consideremos $X = \{ 1/n \mid n \in \mathbb{N}^* \} \cup \{ 0 \}$ (con la topología del subespacio $X \subset \mathbb{R}$ ). Entonces los componentes de trayectoria de $X$ son sus singletons, y para cada singleton $\{x\}$ , $\mathcal{C}([0,1], \{x\})$ es a su vez un singleton. Sin embargo, $\mathcal{C}([0,1], X)$ no es una unión disjunta contable de singleton: de hecho, es homeomorfa a $X$ a través de $$\mathcal{C}([0,1], X) \xrightarrow{\cong} X, \quad f \mapsto f(0)$$ (no tiene nada de especial $0$ : cada $f : [0,1] \to X$ es constante, podría haber elegido la evaluación en cualquier $t \in [0,1]$ ).
(Esto puede verse intuitivamente: si $X$ no es homeomorfa a la unión disjunta de sus componentes, entonces $\mathcal{C}([0,1], X)$ tiene pocas posibilidades de ser una unión disjunta en los componentes del camino de $X$ sí mismo. Vea aquí más ejemplos. )
Sin embargo, si $X$ está conectada localmente por un camino, esto es cierto. El mapa $$w : \bigsqcup_{X_i \in \pi_0(X)} \mathcal{C}([0,1], X_i) \to \mathcal{C}([0,1], X)$$ es continua por definición (la inclusión $\mathcal{C}([0,1], X_i) \to \mathcal{C}([0,1], X)$ es continua, utilicemos la propiedad universal de la unión disjunta). Pero también es abierto: sea $$C(U,K) = \{ f : [0,1] \to X_i \mid f(K) \subset U \}$$ sea un conjunto abierto en la subbase que define la topología sobre $\mathcal{C}([0,1], X_i)$ (es decir $K \subset [0,1]$ es compacto y $U \subset X_i$ está abierto). Entonces, como $X$ está conectada localmente por una trayectoria, su componente de trayectoria $X_i$ es abierto, y por tanto $U \subset X_i \subset X$ está abierto en $X$ también. De ello se deduce que $w(C(U,K))$ también está abierto en $\mathcal{C}([0,1], X)$ (por definición). Así que $w$ envía conjuntos abiertos de una subbase a conjuntos abiertos, por lo que es un mapa abierto. Para concluir, $w$ es abierto, continuo y biyectivo, por lo que es un homeomorfismo.
