¿Es lo mismo diferenciabilidad que continuidad de la derivada?

Question

He visto una o dos respuestas sobre esto, pero no tienen mucho sentido para mí. Un ejemplo es que $sin\frac{1}{x}$ no es diferenciable en $x=0$ pero entonces no es el derivado: $$-\frac{cos\frac{1}{x}}{x^2}$$

Esto no es continuo en $x=0$ también. ¿Puede alguien explicar esto, o dar un ejemplo de cuándo la diferenciabilidad de una función no es lo mismo que la continuidad de la derivada?

Answer 1

La respuesta es no.

Consideremos la función dada por \begin{align*} f(x) = \begin{cases} x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & \text{if} \ \ x \neq 0,\\\\ 0, & \text{if} \ \ x = 0 \end{cases} \end{align*}

Dicha función es diferenciable en $x = 0$ pero su derivada no es continua en este punto.

De hecho, uno tiene que \begin{align*} f'(0) & = \lim_{x\to 0}\frac{x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = \lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \end{align*}

Por otro lado, también tenemos que \begin{align*} f'(x) = \begin{cases} 2x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) - \cos\left(\dfrac{1}{x}\right), & \text{if} \ \ x \neq 0,\\\\ 0, & \text{if} \ \ x = 0. \end{cases} \end{align*}

lo que confirma nuestra afirmación.

Espero que esto ayude.