Demuestre que una matriz tiene determinante positivo

Question

Para un número natural $i>0$ , dejemos que $p_i$ sea el $i$ el número primo, es decir, $p_1=2, p_2=3, p_3=5,...$ . Demuestre que para todo $n$ la siguiente matriz tiene determinante positivo

$$ \begin{pmatrix} 1^{p_1} & 2^{p_1} & \cdots & (n-1)^{p_1} & n^{p_1} \\ 1^{p_2} & 2^{p_2} & \cdots & (n-1)^{p_2} & n^{p_2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1^{p_n} & 2^{p_n} & \cdots & (n-1)^{p_n} & n^{p_n}\\ \end{pmatrix} $$

La pista proporcionada es utilizar el hecho de que el polinomio $P(x)=a_nx^{p_n}+a_{n-1}x^{p_{n-1}} + \cdots + a_1x^{p_1}+a_0x^{p_1}$ tiene como máximo $n-1$ raíces positivas para todas las constantes reales. Pero no sé cómo utilizar el hecho para demostrar la pregunta. ¿Alguien puede ayudarme?

El origen del problema es aquí , pregunta $2.5$ .

Answer 1

Motivación: Intentar calcular el determinante directamente por expansión de cofactores lleva a un dolor de cabeza.
No es evidente si podemos descomponer esta matriz en un producto o conjugación (cambio de base).
Por lo tanto, nos queda el viejo enfoque de las operaciones de fila elementales en una matriz triangular superior.

En este problema hay varias pistas falsas:
1) $p_n$ es una lista de primos es irrelevante (sólo necesitamos enteros positivos distintos)
2) Las bases son los enteros de 1 a $n$ es irrelevante (sólo necesitamos enteros positivos distintos)
3) La pista no debe tener un $a_o x^{p_1} $ (pero eso es fácil de adivinar)

Prueba de la insinuación: Esto es inmediato a partir de Regla de los signos de Descarte . $\square$

Ahora demostramos la afirmación por inducción en $n$ . Sea $M_n$ denotan el $n \times n$ matriz.

Afirmación 1: Podemos realizar una serie de operaciones elementales de fila (ERO) que harán que la matriz $M_n$ en una matriz triangular superior con coeficientes diagonales positivos.

Afirmación 2: Buscamos un polinomio de la forma

$$ f(x) = 1 \times x ^{p_n} + a_{n-1} x^{p_{n-1}} + \ldots + a_1 x ^{p_1} $$

tal que $ f(1), f(2) , \ldots f(n-1) = 0 $ .

Prueba de la afirmación 2: La existencia se deduce de $\det(M_{n-1} ) \neq 0 $ . Por lo tanto, existe una solución para $$ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots a_{n-1} \end{pmatrix} M_{n-1} = \begin{pmatrix} -1^{p_n} & -2^{p_n} & \ldots -(n-1)^{p_n} \end{pmatrix}. $$

Es evidente que $ a_i$ satisfacer las condiciones de la demanda. $_\square$

Prueba de la afirmación 1: Aplicando la operación elemental de filas $e_n = e_n + a_{n-1} e_{n-1} + \ldots + a_1 e_1$ transformará la última fila de la matriz en $ \left( f(1), f(2), \ldots, f(n-1), f(n) \right)$ .
1. Por construcción, $f(1) = f(2) = \ldots f(n-1) = 0 $ .
2. De la pista, este polinomio tiene $n-1$ raíces reales positivas ya, lo que significa que no hay más raíces reales positivas, y por lo tanto $f(n) > 0 $ .

Ahora inducimos, y el resto de la matriz puede ser ERO a una matriz triangular superior.

Por último, la prueba de la declaración: Puesto que es ERO equivalente a una matriz triangular superior con elementos diagonales positivos, que tiene un determinante positivo, por lo tanto hemos terminado.