¿Me he integrado correctamente? Integración mediante sustitución algebraica.

Question

Integrar con respecto a $x$ $$\int3{\sec^2(3x)\tan(3x)dx}$$

Hay 2 maneras de hacer esto de acuerdo con el libro, sólo deseo saber si he hecho las dos formas correctamente ... por favor me corrija en donde me equivoqué

Método 1:

$$3\int{\sec^2(3x)\tan(3x)dx}$$ $u=3x;\dfrac{1}{3}du=dx$ $$3\int{\dfrac{\sec^2(3x)\tan(3x)}{3}du}$$ $$\int{\sec^2(3x)\tan(3x)du}$$ $v=sec(3x);\dfrac{dv}{sec(3x)}=\tan(3x)du$ $$\int{\dfrac{\sec^2(3x)dv}{\sec(3x)}}$$ $$\int{\sec(3x)dv}$$ $$\dfrac{1}{2}\sec^2(3x)+C$$

Método 2:

$$3\int{\sec^2(3x)\tan(3x)dx}$$ $u=3x;\dfrac{1}{3}du=dx$ $$3\int{\dfrac{\sec^2(3x)\tan(3x)}{3}du}$$ $$\int{\sec^2(3x)\tan(3x)du}$$ $v=\tan(3x);dv=\sec^2(3x)du$ $$\int{\tan(3x)dv}$$ $$\dfrac{1}{2}{\tan^2(3x)}+ C$$

Answer 1

Ambas respuestas son correctas. De hecho, puede diferenciar sus respuestas con respecto a $x$ para ver que da el integrando para comprobar tu respuesta.

Por su interés, sus dos respuestas son equivalentes porque $$\frac{1}{2} \sec^2(3x) + C_1= \frac{1}{2}(\tan^2(3x) + 1)+C_1 = \frac{1}{2}\tan^2(3x) +C_2$$

Answer 2

$$\int 3sec^2(3x)tan(3x)dx$$ utilice esta sustitución : $$u=tan(3x)\\du=3(1+tan^(3x)dx=3sec^2(3x)dx\\3sec^2(3x)tan(3x)dx=3sec^2(3x)dx *tan(3x)=\\du *u$$ así que $$\int 3sec^2(3x)tan(3x)dx=\int udu=\frac{1}{2}u^2=\\\frac{1}{2}tan^2(3x) +const$$

Answer 3

Deberías escribir así:

$$3\int{\sec^2(3x)tan(3x)dx}$$

poner $u=3x;\dfrac{1}{3}du=dx$

$$3\int{\dfrac{\sec^2(u)tan(u)}{3}du}$$

Ponga $v=sec(u);\dfrac{dv}{sec(u)}=\tan(u)du$

$\int{vdv}=\frac{v^2}{2}+c$ Ahora reemplazando de nuevo los valores, tenemos la solución final como, $$\dfrac{1}{2}\sec^2(3x)+C$$

Método 2: $$3\int{\sec^2(3x)tan(3x)dx}$$

poner $u=3x;\dfrac{1}{3}du=dx$

$$3\int{\dfrac{\sec^2(u)tan(u)}{3}du}$$

$v=\tan(u);dv=\sec^2(u)du$

$\int{vdv}=\frac{v^2}{2}+c$ Ahora reemplazando de nuevo los valores, tenemos la solución final como, $$\dfrac{1}{2}{\tan^2(3x)}+ C$$