Mostrar la solución de esta función por Euler-Lagrange

Question

Tengo la siguiente función $$\int_0^1\dot{x}(t)^2+x(t)^2+x(t)^4dt\to\text{min},\quad x\in W^{1,\infty}[0,1],\quad x(0)=-1,\quad x(1)=1$$ Sin llegar a resolver el problema, sólo intento demostrar que la solución satisface $$\dot{x}(t)=\sqrt{x(t)^2(1+x(t)^2)+C},\quad\text{for some}\quad C>0$$ Al final, creo que mi problema es, por desgracia, una confusión fundamental relacionada con la primitivación. $\ddot{x}(t)$ Pero voy a mostrar mi trabajo y espero que alguien tenga la amabilidad de aclarar. Estoy simplemente corriendo con la solución de algunos otros problemas que tengo y aplicando una lógica análoga. Así, me han enseñado que la ecuación de Euler-Lagrange es $$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=0$$ Así pues, aquí tenemos $\frac{\partial L}{\partial x}=4x^3+2x$ y $\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=2\dot{x}$ El resultado es $$4x^3+2x-\frac{d}{dt}(2\dot{x})=0<=>4x^3+2x-2\ddot{x}=0<=>\ddot{x}=2x^3+x$$ ...Así que escribí un montón de pensamientos que tenía sobre posibles formas de avanzar, pero decidí que era sobre todo desorden incorrecto, así que espero que alguien pueda venir con una respuesta limpia y rápida. Muchas gracias por cualquier ayuda.

Edición: Lo siento, la ecuación es con $\dot{x}(t)^2$ no $\dot{x}(t)$

Answer 1

1. La identidad buscada por OP es sólo el Beltrami identidad conservación de la energía $$ h(x,\dot{x})~:=~\dot{x}^2+V(x)~=~C, \qquad V(x)~:=~-x^2-x^4.$$

2. Puede verse como una consecuencia de (i) el hecho de que el Lagrangiano $$L(x,\dot{x})~:=~\dot{x}^2-V$$ no tiene $t$ -dependencia, es decir, posee una simetría; y (ii) Teorema de Noether .

Answer 2

Así que voy a responder a mi propia pregunta, ya que creo que ahora lo tengo. Puesto que tenemos alguna demanda de $\dot{x}(t)$ deberíamos ser capaces de recuperar $\ddot{x}(t)$ simplemente diferenciando el lado derecho con respecto a $t$ . Al hacerlo, constatamos que $$\frac{d}{dt}\left(\sqrt{x(t)^2(1+x(t)^2)+C}\right)=\frac{2x(t)^3\dot{x}(t)+2x(t)(1+x(t)^2)\dot{x}(t)}{2\sqrt{x(t)^2(1+x(t)^2)+C}}$$ Ahora, suponiendo que $\sqrt{x(t)^2(1+x(t)^2)+C}=\dot{x}(t)$ como se afirma, tenemos $$\frac{2x(t)^3\dot{x}(t)+2x(t)(1+x(t)^2)\dot{x}(t)}{2\dot{x}(t)}$$ $$=2x(t)^3+x(t)$$ Y así hemos recuperado $\ddot{x}(t)$

Así que, básicamente mi error fue que no me estaba dando cuenta de que la diferenciación completa de la $x(t)$ términos con respecto a $t$ está efectivamente sujeta a la regla de la cadena, al ser funciones que dependen de $t$ y no sólo algunas variables $x$ . ¿Es esa la forma correcta de verlo?

$\textbf{Edit}$ - He vuelto atrás y he seguido intentando encontrar la respuesta primitivando $\ddot{x}$ Ya que realmente me gustaría poder hacer esto sin que me den la respuesta primero y sólo confirmar a partir de ahí. Todavía tengo alguna confusión. Así que, básicamente, parece que mi gran problema anteriormente era que yo no estaba considerando que el $x(t)$ deben tratarse como funciones compuestas. Así, puedo encontrar el resultado pensando en la regla de la cadena inversa (puede que ni siquiera sea correcta, pero escúchame) mediante $$\int\ddot{x}(t)\frac{d}{dt}=\dot{x}(t)=\int 2x(t)^3+x(t)dt\int \frac{1}{\dot{x}(t)}2u^3du+\int\frac{1}{\dot{x}}udu=\frac{\frac{1}{2}u^4+\frac{1}{2}u^2+C}{\dot{x}}=\frac{x(t)^4+x(t)^2+C}{2\dot{x}}$$ Dado que $C$ es arbitraria, podemos colapsarla con la función $\frac{1}{2}$ para conseguir $$\dot{x}(t)=\frac{x(t)^4+x(t)^2+C}{\dot{x}}<=>\dot{x}(t)^2=x(t)^4+x(t)^2+C<=>\dot{x}(t)=\sqrt{x(t)^4+x(t)^2+C}$$ $$=\sqrt{x(t)^2(1+x(t)^2)+C}$$ Pero esto aún me confunde un poco. ¿No deberíamos tener $t$ variables en algún lugar de la primitiva del lado derecho con respecto a $t$ ? Por ejemplo, he trabajado con funciones de Euler-Lagrange en las que $\ddot{x}$ terminó siendo igual a alguna función que sí tenía $t$ variables incluidas, y tratamos la primitiva de estas variables como lo haríamos en cualquier otra circunstancia. Es decir $\int 1dt=t+C$