Cómo factorizar $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ ?

Question

Cómo factorizar $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ ?

Se ha convertido en la potencia más baja de $n$ pero la pregunta quiere que lo factorice.

¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

$$n(n+3)=n^2+3n$$

y $$(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$$

$$\implies n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)[(n^2+3n)+2]+1=[(n^2+3n)+1]^2$$

Answer 2

Sugerencia $\ $ Reordenar el producto en un $\rm\color{#0a0}{\,DS} = $ diferencia de cuadrados, $ $ a continuación, añada $\,\color{#c00}1$

$\qquad\quad \color{#c00}n(n\!+\!1)(n\!+\!2)(\color{#c00}{n\!+\!3})\, =\, (\underbrace{\color{#c00}{n^2\!+\!3n}}_{\Large\ x^{\phantom{c}}})(\underbrace{n^2\!+\!3n\!+\!2}_{\Large\ \ x\ +\ 2a})\,\overset{\rm\color{#0a0}{DS}} =\, (\underbrace{n^2\!+\!3n\!+\!1)^2\color{#c00}{-1}}_{\Large\ \ \ (x+a)^2\,-\ a^2}$

Answer 3

Establecer $\dfrac{n+n+1+n+2+n+3}4=m\iff 2n+3=2m$

$\implies n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\dfrac{2n(2n+2)(2n+4)(2n+6)}{2^4}+1$

$=\dfrac{(2m-3)(2m-1)(2m+1)(2m+3)}{2^4}+1$

$=\dfrac{(4m^2-9)(4m^2-1)}{2^4}+1$

$=\dfrac{(4m^2)^2-2\cdot4m^2\cdot5+5^2}{2^4}=\dfrac{(4m^2-5)^2}{(2^2)^2}$

Answer 4

Sugerencia: Fíjese en los primeros valores, para pequeños $n$ .

Answer 5

Simplemente pasándolo por Wolfram, creo que la forma más sencilla de escribirlo es $(n^2+3n+1)^2$ . Muchas de las otras vías seguían teniendo un " $+1$ " al final de las mismas.