El origen de los isomorfismos musicales

Question

En geometría de Riemann, el operador de "índices descendentes" se denota por $\flat:TM \to T^*M$ y el operador "elevar índices" por $\sharp:T^*M \to TM$ . Estos isomorfismos se denominan a veces isomorfismos musicales como se indica en Wikipedia y en varios otros fuentes . Sin duda, la motivación de tal terminología es clara. No obstante, me gustaría saber quién decidió añadir estas notaciones (bastante divertidas), así que aquí va una pregunta:

¿Cuál fue el primer documento / libro de texto que utilizó las notaciones $\flat$ y $\sharp$ ?

y una posible pregunta de seguimiento:

Si estas notaciones no se adoptaron de forma generalizada tras su primera aparición, ¿quién las popularizó?

Answer 1

Marcel Berger, en la p. 696 de su libro Springer: Una visión panorámica de la Geometría de Riemann , escribe "A continuación definimos la dualidad musical canónica", refiriéndose a una nota a pie de página: "Estas dualidades se denominan musical porque a menudo se escriben con símbolos como ♭: V $\rightarrow$ V* y ♯: V* $\rightarrow$ V."

Aunque no sea la primera vez que se menciona "musical", podemos suponer que Berger inventó esa expresión, porque en un panorámica viev de más de 800 páginas, cabía esperar una referencia a otro autor.

Más información en Rob Kusner pista aquí # o "agudo" es lo que Marcel Berger llama un "isomorfismo musical" y el comentario de Olivier Bégassat parecen aportar pruebas suficientes para determinar el inventor.

Para responder completamente a esta pregunta, habría que leer la obra completa de Berger. Pero si esperamos un poco, esta tarea probablemente se reducirá a tocar un botón.

Answer 2

Los isomorfismos musicales ya aparecen en 1971 en la página 21 de BERGER M. et al, Le spectre d'une variete riemannienne, Lecture Notes in Math. 194, 1971, Springer, véase http://ci.nii.ac.jp/naid/10003477917/

Sin embargo, no estoy convencido de que éste sea el primer lugar donde aparecen, ni de que Berger fuera el inventor. Habría que rastrear los libros de texto alemanes de geometría riemanniana de los años sesenta o quizá anteriores. Interesante pregunta.