Encontrar un elemento $a$ de algún grupo tal que $|a|=6$ y $C(a) \neq C(a^3)$

Question

Encontrar un elemento $a$ de algún grupo $G$ tal que $|a|=6$ y $C(a) \neq C(a^3)$ .

$|a|$ es el orden de $a$ .

$C(a)$ es el Centralizador de $a$ en $G$ .

Esta pregunta es de Contemprary Abstract Algebra por Joseph A Gallian 4ª edición, Capítulo 3, Pregunta 24.

Answer 1

Queremos $a$ tener orden $6$ ? Probemos $a=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ en el grupo $S_6$ . Veamos, $a^3=(1\ 4)(2\ 5)(3\ 6)$ ¿verdad? ¿Tiene $C(a)$ el conjunto de elementos del grupo que conmutan con $a$ ? Así que estamos buscando algo que se desplaza con $a^3$ pero no con $a$ ? Hmm. La transposición $(1\ 4)$ conmuta con $a^3$ ¿verdad? Me pregunto si viaja con $a$ .

Answer 2

El ejemplo más sencillo que veo es el siguiente. Tomemos $$G=S_5,$$ donde $S_5$ denota el grupo de todas las permutaciones del conjunto $\{1,2,3,4,5\}$ y toma $$a=(123)(45).$$ Así que tenemos que $$a^3=(45).$$ El centralizador de $a$ viene dada por $$ C(a)=\left\{\sigma\tau \;| \; \sigma \in \langle(123)\rangle, \tau \in \langle(45)\rangle \right\} \simeq \mathbb Z_3 \times\mathbb Z_2,$$ mientras que el centralizador de $a^3$ $$C(a^3)=\left\{\sigma\tau \;| \; \sigma \in S_3, \tau \in \langle(45)\rangle \right\} \simeq S_3 \times \mathbb Z_2.$$

Answer 3

Desde $|a| =6$ debe dividir el orden del grupo, y como los dos grupos de orden $6$ no funcionan aquí, el ejemplo más pequeño debe tener al menos $6n$ elementos, con $n \geq 2$ . Pero resulta que el grupo diedro $D_6 = \langle a,s \,|\, a^6=s^2=1, \, as=sa^{-1} \rangle$ de orden $12$ funciona. Se comprueba sistemáticamente que

(1) $a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6=1$ son elementos distintos;

(2) $as \neq sa \implies s \notin C(a)$ ;

(3) $a^3s=sa^{-3} = sa^3 \implies s \in C(a)$ .

Por lo tanto $|a|=6$ mediante (1) y $C(a) \neq C(a^3)$ mediante (2) y (3).