Subgrupos normales e isomorfismos

Question

Se supone que debo demostrar que si un grupo $K$ tiene subgrupos normales $G$ y $H$ con $G \cup H = 1$ y $G \vee H = K$ entonces existe un isomorfismo $\Theta: G \times H \cong K$ definido por $\Theta (g, h) = gh$ para todos $g \in G$ y $h \in H$ y así en otra parte tengo este teorema que dice que si un grupo $K$ tiene subgrupos $G$ y $H$ con $G \cup H = 1$ y $G \vee H = K$ entonces existe un isomorfismo $\Theta: G \times H \cong K$ definido por $\Theta (g, h) = gh$ para todos $g \in G$ y $h \in H$ mientras $gh = hg$ para $g \in G, h \in H$ así que supongo que lo que tengo que hacer es demostrar que si $G$ y $H$ son subgrupos normales de $K$ entonces $gh = hg$ para $g \in G, h \in H$ . Esto no es aparente y me está matando. Cualquier ayuda que me puedan ofrecer sería genial. Gracias.

Answer 1

Consideremos el conmutador $[g,h]:=ghg^{-1}h^{-1}$ . Puesto que ambos $ghg^{-1}$ y $h^{-1}$ está en $H$ , $[g,h]\in H$ . Del mismo modo para $G$ así, $[g,h]\in H\cap G=1$ .