He aquí una respuesta provisional (negativa) a la pregunta de si la existencia de un $E_{0}$ (Vitali) implica la existencia de un ultrafiltro no principal en $\omega$ . Tengo que comprobar algunos detalles (más abajo diré dónde) pero me parece bien. Estoy publicando esto ahora con la esperanza de que alguien tiene alguna idea para una solución más fácil.
Sea $P$ sea el orden parcial formado por parciales contables $E_{0}$ selectores, ordenados por inclusión. Sea (a) la afirmación (destinada a aplicarse en el contexto de Choice) de que siempre que $D$ es un subconjunto denso de $P$ en $L(\mathbb{R})$ y $F \subseteq P$ es un filtro de cardinalidad inferior al continuo ( $\mathfrak{c}$ ), $F$ puede ampliarse a un filtro que contenga un miembro de $D$ . Si (a) se cumple, el continuo es regular, y $|\mathcal{P}(\mathbb{R}) \cap L(\mathbb{R})| = \mathfrak{c}$ (que se cumple si existe un cardinal medible, por ejemplo), entonces se puede construir $L(\mathbb{R})$ -filtros genéricos para $P$ .
Por lo que sé, (a) es una consecuencia de ZFC más cardinales grandes adecuados. Es claramente una consecuencia de la Hipótesis del Continuo, pero eso no parece servir de mucho. Suponiendo que la teoría de $L(\mathbb{R})$ se fija por forzamiento de conjuntos (lo que ocurre, por ejemplo, si existen cardinales de Woodin de clase adecuada; esta hipótesis puede afinarse para nuestros fines), se obtendría ese forzamiento con $P$ en $L(\mathbb{R})$ no añade un ultrafiltro no principal, si supiera que cada una de las siguientes afirmaciones podría forzarse junto con (a) + ` $\mathfrak{c}$ es regular" : (1) para cada ultrafiltro no principal $U$ en $\omega$ hay un ultrafiltro de Ramsey en $L(\mathbb{R})[U]$ (2) no hay ultrafiltros de Ramsey. Cada uno de (1) y (2) es forzable junto con $\mathfrak{c}= \aleph_{2}$ . No estoy seguro de quién lo mostró; supongo que Blass en el primer caso, y Kunen en el segundo.
No sé nada sobre la producción de modelos de (a) forzando sobre modelos de ZFC, pero (a) se mantiene en el $\mathbb{P}\mathrm{max}$ extensión de cualquier modelo de $\mathrm{AD}^{+}$ (como $L(\mathbb{R})$ si existen infinitos cardinales de Woodin por debajo de un cardinal medible). Esto tampoco parece dar mucha información sobre la cuestión original, aunque muestra (mediante un $\Delta$ -argumento del sistema) que si $G \subseteq \mathbb{P}\mathrm{max}$ es un $L(\mathbb{R})$ -filtro genérico, entonces en $L(\mathbb{R})[G]$ hay $L(\mathbb{R})$ -filtros genéricos para $P$ cuyas extensiones no contienen ningún ultrafiltro en $\omega$ generado por una torre de longitud $\omega_{2}$ desde el punto de vista de $L(\mathbb{R})[G]$ .
Me parece que hay variaciones naturales de $\mathbb{P}\mathrm{max}$ para producir modelos en los que la característica cardinal $\mathfrak{u}$ es igual a $\aleph_{1}$ (Creo que Woodin lo ha hecho, de hecho). En estos modelos, (a) parece mantenerse, y la característica cardinal $\mathfrak{g}$ debe ser $\aleph_{2}$ que da la afirmación (1), por resultados de Laflamme. Y lo que es más importante, proporciona la Coherencia Cercana de Filtros (NCF), la afirmación de que dos ultrafiltros no principales cualesquiera sobre $\omega$ son reducibles finito a uno a un ultrafiltro común. No sé si conseguir (2)+(a) con a $\mathbb{P}\mathrm{max}$ variación. Sin embargo, si hay una $P$ -nombre para un ultrafiltro no principal en $\omega$ entonces se puede asignar este nombre a dos (de hecho, a muchas) partes independientes de $P$ y así demostrar que NCF no se puede mantener en el $P$ -extensión de $L(\mathbb{R})$ a menos que no haya ultrafiltros no principales allí.
Este argumento no parece tener nada que ver con $E_{0}$ . Si es correcto, debería demostrar, por ejemplo, que si $L(\mathbb{R}^{\#}) \models \mathrm{AD}^{+}$ entonces para cualquier acción de Borel sobre los reales por un grupo contable, el orden parcial que añade una función de elección para las órbitas, con condiciones contables, no añade un ultrafiltro no principal sobre $\omega$ .
Supongo que este argumento es más complicado de lo necesario en más de un sentido. Uno esperaría que la prueba pasara por un estilo de determinación $\Delta$ -sistema lema, pero no veo cómo hacerlo.
