La desigualdad de $\binom{2n}{n}\leq 4^n$

Question

Me gustaría demostrar la siguiente desigualdad, para $n=0,1,2,...$, $$ \binom{2n}{n}\leq 4^n.$$ yo ya lo probó por inducción, y estoy buscando otra prueba.

Answer 1

Un poco más y puede ser demostrado con un poco más de trabajo. Para $k\ge0$, tenemos la desigualdad $$ \begin{align} \left(\frac{k+\frac12}{k+1}\right)^2 &=\frac{k^2+k+\frac14}{k^2+2k+1}\\ &\le\frac{k+1}{k+2}\tag{1} \end{align} $$ porque la multiplicación da $k^3+3k^2+\frac94k+\frac12\le k^3+3k^2+3k+1$.

El uso de $(1)$ rendimientos $$ \begin{align} \frac{\binom{2k+2}{k+1}}{\binom{2k}{k}} &=4\frac{k+\frac12}{k+1}\\ &\le4\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}\tag{2} \end{align} $$ Multiplicando $(2)$$k=0$$k=n-1$, obtenemos $$ \boxed{\bbox[5px]{\displaystyle\binom{2n}{n}\le\frac{4^n}{\sqrt{n+1}}}}\etiqueta{3} $$

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Como Olivier Oloa comentarios, Stirling, la Fórmula nos dice que $$ \lim_{n\to\infty}\binom{2n}{n}\frac{\sqrt{\pi n}}{4^n}=1\etiqueta{4} $$ De hecho, el uso de las desigualdades similar a $(2)$, en esta respuesta, se muestra que $$ \boxed{\bbox[5pt]{\displaystyle\frac{4^n}{\sqrt{\pi(n+\frac13)}}\le\binom{2n}{n}\le\frac{4^n}{\sqrt{\pi(n+\frac14)}}}}\tag{5}$$

Answer 2

$\displaystyle 4^n=(1+1)^{2n} =\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}\geq\binom{2n}{n}$

Answer 3

Deje $n \in \mathbb{N}.$ puede escribir

$$ 4^n=2^{2n} =(1+1)^{2n}= \sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}\geq\binom{2n}{n}. $$

Answer 4

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{{2n \choose n}\leq 4^{n}:\ {\large ?}}$

\begin{align} \binom{2n}{n}&=\oint_{\verts{z}\ =\ 1}{\pars{1 + z}^{2n} \over z^{n + 1}}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \end{align}

\begin{align} \color{#66f}{\large\verts{\binom{2n}{n}}}&= \verts{\oint_{\verts{z}\ =\ 1}{\pars{1 + z}^{2n} \over z^{n + 1}} \,{\dd z \over 2\pi\ic}}\leq \oint_{\verts{z}\ =\ 1}\verts{\pars{1 + z}^{2n}} \,{\verts{\dd z} \over 2\pi}<\pars{1 + 1}^{2n}=\color{#66f}{\LARGE 4^{n}} \end{align}