Definición formal de "hereditariamente"

Question

En teoría de conjuntos a veces se leen afirmaciones como "hereditariamente finitos" o "hereditariamente bien fundados", en presencia del axioma de fundación Wikipedia dice que los ordinales son conjuntos "hereditariamente transitivos".

No he podido encontrar una buena definición introductoria de lo que significa ser hereditario. Parece girar en torno a una propiedad que heredan los subconjuntos de un conjunto

¿Puede alguien dar algunas definiciones básicas y dirección por favor, ojalá explicando lo que " $A$ es la clase de $\varphi $ conjuntos", cuando $\varphi $ es alguna propiedad.

Answer 1

Un conjunto $x$ es hereditaria $\varphi$ si y sólo si cada miembro de su cierre transitivo (incluido $x$ tiene la propiedad $\varphi$ .

Por ejemplo, ser hereditariamente finito significa no sólo que $x$ es finito, pero también cada miembro de $x$ es finito, y cada miembro de cada miembro de $x$ etc.

(Nótese que en ausencia de fundamento, esto es un poco peculiar. Por ejemplo, si $x=\{x\}$ entonces $x$ es hereditariamente finito, aunque no pertenece a $V_\omega$ .)