Demostrar que la imagen de una función contiene (1/n,...,1/n)

Question

Esta pregunta es continuación de otra anterior a la que respondió Neil Strickland:

Mapa del símplex a sí mismo que conserva los subsímplex

Sea $B$ denota la bola unitaria cerrada en $\mathbb{R}^2$ y que $\Delta_{n-1}$ denotan el $(n-1)$ -simple. Tengo una función continua $f(x_1,\dots,x_n):B^n \rightarrow \Delta_{n-1}$ definido para todos los subconjuntos $\lbrace x_1,\dots,x_n\rbrace \subset B$ de tamaño $n$ que satisfagan $x_i \neq x_j$ para todos los pares $i,j$ (en otras palabras, la función sólo está definida si todos los $n$ son distintos). Esta función tiene la propiedad de que, si $\sigma$ denota una permutación, entonces $f(\sigma(x_1,\dots,x_n)) = \sigma(f(x_1,\dots,x_n))$ . En otras palabras, permutar los argumentos de la función simplemente permuta la salida. Mi pregunta es: ¿existen condiciones suficientes no triviales sobre $f$ bajo el cual el punto $(1/n , \dots, 1/n)$ se encuentra en la imagen de este mapa? (o, mejor aún, ¿siempre es así?)

He aquí una propiedad del mapa $f$ que puedo añadir sobre el requisito de que los argumentos sean distintos: si $\lbrace \mathbf{x}_k \rbrace$ es una secuencia de $n$ -(con entradas distintas) en $B$ que converge a un $n$ -tupla $\bar{\mathbf{x}}$ con entradas (posiblemente) no distintas, entonces el límite de $f(\mathbf{x}_k)$ existe si y sólo si, para cada par de entradas $x_i^k$ y $x_j^k$ en el $n$ -el vector unitario de dirección de $x_i^k$ a $x_j^k$ (es decir $\frac{x_i^k - x_j^k}{||x_i^k - x_j^k||}$ ) tiene un límite.

Answer 1

Se trata de una cuestión muy interesante. No tengo una respuesta completa, pero por algo se empieza.

En primer lugar, para cualquier espacio $X$ Escribiré $F_n(X)\subset X^n$ para el espacio distinto $n$ -tuplas. La pregunta es si existen $\Sigma_n$ -mapas equivariantes $f:F_n(B^2)\to\Delta_{n-1}$ con el punto fijo $b=(1/n,\dotsc,1/n)$ no en la imagen. Si existe tal mapa, entonces podemos alejarlo de $b$ hasta el límite de $\Delta_{n-1}$ que es homeomorfo a $S^{n-2}$ . Por otro lado, hay una incrustación obvia $i:B\to\mathbb{R}^2$ y se puede elegir una incrustación $j:\mathbb{R}^2\to B$ tal que $ij$ y $ji$ son isotópicos a los respectivos mapas de identidad; utilizando esto vemos que $F_n(B^2)$ es equitativamente homotópico equivalente al espacio $X=F_n(\mathbb{R}^2)$ . Este espacio es bien conocido: el siguiente artículo es un punto de entrada a la literatura:

\bib{MR1344842}{article}{
   author={Cohen, F. R.},
   title={On configuration spaces, their homology, and Lie algebras},
   journal={J. Pure Appl. Algebra},
   volume={100},
   date={1995},
   number={1-3},
   pages={19--42},
   issn={0022-4049},
   review={\MR{1344842 (96d:55005)}},
   doi={10.1016/0022-4049(95)00054-Z},
}

En particular:

1. $\pi_1(X)$ es el grupo trenzado puro $Br_n$ en $n$ cuerdas. Además, los grupos homotópicos superiores son triviales, por lo que $X$ es el espacio de clasificación $BBr_n$ .

2. $X$ tiene una deformación equivariante retraída $X_0$ que es un complejo simplicial finito de dimensión $n-1$ . Esto significa que $H^k(X)=0$ para $k>n-1$ .

3. La cohomología de $X$ es completamente conocida, junto con la acción de $\Sigma_n$ . En particular, el grupo superior $H^{n-1}(X)$ es el módulo conocido como $\text{Lie}(n)$ (¿o tal vez su doble?). Como $\mathbb{Z}[\Sigma_{n-1}]$ -módulo este es libre de rango uno, pero el $\Sigma_n$ -la acción es más difícil de describir. La descripción estándar también implica que todas las operaciones de Steenrod en $H^*(X_0;\mathbb{Z}/p)$ son triviales.

Si podemos demostrar que no hay $\Sigma_n$ -equivariante de $X_0$ a $S^{n-2}$ entonces habremos terminado.

En el caso $n=2$ sólo tenemos $X_0=S^1$ y $S^{n-2}=S^0$ con $\Sigma_2$ actuando antipodalmente en ambos lados: está claro que no hay mapa equivariante, como se requiere.

En el caso $n=3$ tenemos $S^{n-2}=S^1=K(\mathbb{Z},1)$ por lo que el conjunto cartográfico no variante es $[X_0,S^1]=H^1(X_0)$ y se puede comprobar que se trata de $\mathbb{Z}^3$ con la acción dada permutando las coordenadas y multiplicando por la firma. El único punto fijo para esta acción es cero, por lo que cualquier mapa $X_0\to S^1$ que es equivariante-hasta-homotopía es no-equivariantemente homotópico a un mapa constante. Aquí la acción de $\Sigma_3$ en $S^1$ se genera mediante una reflexión y una rotación a través de $2\pi/3$ por lo que no hay puntos fijos. Esto significa que los mapas constantes $X_0\to S^1$ aunque equivariante-hasta-homotopía, no puede ser equivariante a la nariz. Sospecho que no hay mapas equivariantes, y debería ser posible demostrarlo mediante la teoría de la obstrucción equivariante (es decir, trabajando sobre el esqueleto de $X_0$ ) pero de momento no veo los detalles.

Para $n>3$ todavía tenemos un mapa evidente $[X_0,S^{n-2}]\to H^{n-2}(X_0)$ pero no tiene por qué ser biyectiva. Podemos comparar $S^{n-2}$ con la fibra del mapa $Sq^2:K(\mathbb{Z},n-2)\to K(\mathbb{Z}/2,n)$ recordando que $Sq^2$ actúa trivialmente sobre $H^*(X_0)$ que debería ofrecer una descripción explícita de $[X_0,S^{n-2}]$ . Con un poco de teoría de la representación deberíamos ser capaces de calcular el grupo de mapas de equivocidad hasta la homotopía $X_0\to S^{n-2}$ . Entonces necesitaríamos alguna teoría de obstrucción equivariante para mejorar esto y entender si hay algún mapa equivariante. Dado que $\Sigma_n$ actúa libremente sobre $X_0$ y $S^{n-2}$ es no-quivariante $(n-3)$ -conectados y $X_0$ es $(n-1)$ -dimensional, esta teoría de obstrucción sólo involucrará a los dos o tres últimos skeleta de $X_0$ así que espero que sea manejable.

Answer 2

Permítanme reformular la pregunta y dar una respuesta completa:

¿Cuáles son las condiciones para la existencia de un $\Sigma_n$ -equivariante $$f: F_n(B)\to \Delta_{n-1}\backslash(\tfrac{1}{n},\dots,\tfrac{1}{n})\; ?$$ Aquí $B\subset \mathbb{R}^2$ denota la bola unitaria cerrada, $F_n(B)$ es el espacio de configuración ordenado de $n$ puntos sobre $B$ con $\Sigma_n$ actuando por permutación y $\Sigma_n$ actúa sobre $\Delta_{n-1}:=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n: \sum_ix_i=1, 0\leq x_i\leq 1\}$ permutando las coordenadas.

Como señaló Neil Strickland, utilizando un homeomorfismo equivariante, podemos sustituir $\Delta_{n-1}\backslash(\tfrac{1}{n},\dots,\tfrac{1}{n})$ por $\partial\Delta_{n-1}\cong_{\Sigma_n} S^{n-2}.$ Esta esfera $S^{n-2}$ puede verse como $S(W_n)$ donde $W_n:=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n: \sum_ix_i=0\}$ y $\Sigma_n$ actúa de nuevo permutando las coordenadas. Utilizando equivalencias de homotopía equivariantes, podemos sustituir $F_n(B)$ por $F(\mathbb{R}^2)$ y además utilizar un modelo equivariante de dimensión $n-1$ que Neil Strickland llama $X_0$ y llamaré $\mathcal{F}_n(\mathbb{R}^2)$ . Así que una pregunta equivalente es:

¿Cuáles son las condiciones para la existencia de un $\Sigma_n$ -equivariante $$f: \mathcal{F}_n(\mathbb{R}^2)\to S(W_n)\; ?$$

Afortunadamente, existe una respuesta completa a esas preguntas; la dan Blagojević y Ziegler: arxiv , springer :

Dicho mapa existe si y sólo si $n\geq 2$ es un no una primera potencia

Los autores utilizan la teoría de la obstrucción equivariante y un modelo explícito $\mathcal{F_n(\mathbb{R}^2)}$ que se llama $\mathcal{F}(d,n)$ en su notación. Basta con introducir $d=2$ y el resultado es el teorema principal de la sección 4 del artículo en el arxiv.

De la inexistencia del mapa concluimos que el baricentro $(\frac{1}{n},\dots,\frac{1}{n})$ es alcanzado: Si $n$ es una potencia prima, entonces su función equivariante continua $B^n\to\Delta_{n-1}$ dará siempre en el baricentro y si $n$ no es una potencia prima, existen funciones equivariantes que pierden el baricentro.

Answer 3

Esto no es una respuesta a tu pregunta sino un comentario demasiado largo para un comentario. Una vez intenté resolver lo que entonces era un problema abierto llamado la hipótesis de Knaster. Es una afirmación hermosa y muy plausible: que si $f$ es una función continua definida en la esfera $S^n$ y $x_1,\dots,x_{n+1}$ son puntos en $S^n$ entonces existe un mapa ortogonal $T\in SO(n+1)$ tal que $f(Tx_1)=\dots=f(Tx_{n+1})$ . Una razón para interesarse por la conjetura era que, como observó Milman, implica fácilmente el teorema de Dvoretzky con un límite esencialmente óptimo en todos los parámetros.

En $n=1$ tenemos dos puntos en el círculo y el resultado se puede demostrar por una fácil aplicación del teorema del valor intermedio. Cuando $n=2$ el resultado es cierto, pero nada tan fácil. En ese caso podemos pensar en el mapa de $SO(3)$ a $\mathbb{R}^3$ que lleva $T$ al triple $(f(Tx_1),f(Tx_2),f(Tx_3))$ . Este mapa es continuo, y si $f$ es un contraejemplo a la hipótesis de Knaster entonces la imagen de este mapa no interseca la línea $x=y=z$ . Así que se puede intentar demostrar el resultado por contradicción, mostrando que la imagen de alguna manera "rodea" la línea $x=y=z$ lo suficiente como para estar obligado a contenerlo (del mismo modo que un mapa desde el disco cerrado hacia sí mismo que preserve el límite debe mapear algo hacia el centro del disco). Es esto lo que me recuerda tu pregunta, aunque no pretendo que haya una relación estrecha.

Si no recuerdo mal se puede dar una prueba en este sentido cuando $n=2$ pero la conjetura en general resultó ser falsa. Kashin y Szarek demostraron este interesante resultado (aunque un poco decepcionante, ya que la hipótesis habría sido un teorema muy bonito). Su función $f$ era sólo el $\ell_\infty$ norma. El conjunto de puntos era algo más complicado, pero no demasiado malo.