Método más sencillo para extraer coeficientes de la función generadora

Question

Por división larga puedo ver que dada alguna función generadora $G(x)$ que genera coeficientes $\langle g_0, g_1, g_2, g_3,\ldots\rangle$ que los coeficientes generados por $\frac{G(x)}{(1-x)}$ son $\langle g_0, g_0+g_1, g_0+g_1+g_2,\ldots\rangle$ . Es decir, $[x^n]\frac{G(x)}{(1-x)}$ es la suma de todos los coeficientes generados por $G(x)$ hasta $n$ .

Pero debe haber una manera más fácil. ¿No?

Answer 1

Si $$ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n;\quad B(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n $$ entonces $$ A(x)B(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\right)x^n. $$ En particular $$ A(x)\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_k\times 1\right)x^n $$ como desee.