Es $\{(\log(x))^k\mid k=0,1,2,\ldots\}$ denso en $L^2 [0,1]$? Es decir, es el conjunto de todos los polinomios de funciones de logaritmo denso en el conjunto de cuadrado integrable funciones en $[0,1]$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jared
Puntos
21
Esta no es una respuesta (y posiblemente absurdo total), pero es demasiado largo para un comentario. Deje $V=\operatorname{Vect}(1,\log,\log^2,\dots)$, y supongamos que queremos mostrar es denso (que sospecho). Sólo tenemos que mostrar que su ortogonal es $0$.
Podríamos intentar trabajar con una base de Hilbert. No sé cómo calcular las integrales de un coseno/sine-función contra la $\ln^q$. Sin embargo, para $p,q\in\mathbb{N}$: $$\langle t^p,\log^q\rangle=\frac{(-1)^q q!}{(p+1)^{q+1}}$$ Debido a la continua mapas son densos en $L^2[0,1]$ y funciones continuas puede ser uniformemente aproximan mediante el uso de polinomios, los polinomios son densos en $L^2$. Supongamos $f\perp V$, e $f\neq 0$. No deben ser números reales $c_n,~n\in\Bbb N$ $f=\sum_{n\in \Bbb N} c_n t^n$ $L^2$ (lo cual me parece perfectamente increíble). Si esto se mantiene, dejando $c_N$ ser el primer no-cero coeficiente, que había probablemente conseguir $$0=\langle f,\ln^q\rangle\sim c_N\frac{(-1)^q q!}{(N+1)^{q+1}}$$ which would be contradictory, and so $V$ sería denso.
Cualquier entrada apreciado!
