Ejemplos "clásicos" no triviales de transformaciones diferenciales contractivas en variedades riemannianas compactas

Question

Sea $M$ sea una variedad riemanniana. Un mapa diferenciable $f:M\to M$ se llama contrayente (definición propia) si el mapa lineal $D_x f:T_x M \to T_x M$ tiene la norma del operador limitada por $1$ en relación con las normas sobre $T_x M$ inducida por la métrica de Riemann sobre ella para todo $x\in M$ .

Los únicos ejemplos que conozco son isometrías o mapas constantes. Me pregunto si existen ejemplos clásicos, naturales y relativamente no triviales de mapas contrayentes en variedades riemannianas compactas. (Por favor, no te preocupes demasiado por las palabras "natural" y "clásico"...)

Answer 1

Tome el mapa liso $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ con $(x_1,x_2,x_3) \mapsto (\operatorname{cos}(x_1), \operatorname{sin}(x_1),0)$ y la submanifold regular compacta $S^2$ con métrica riemanniana inducida. Entonces $D_xf : T_x\mathbb{R}^3 \to T_{f(x)}\mathbb{R}^3$ tiene matriz $ \begin{pmatrix} -\operatorname{sin}(x_1)&0&0\\ \operatorname{cos}(x_1)&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}$ con $||D_xf|| \leq 1$ para todos $x \in \mathbb{R}^3$ . La restricción $f : S^2 \to S^2$ también es suave ( $f(\mathbb{R}^3)\subset S^2$ , $S^2$ es un submanifold incrustado) y por lo tanto $D_xf : T_xS^2 \to T_{f(x)}S^2$ tiene norma $\leq 1$ para todos $x \in S^2$ .