Prueba $\{x \in X : f(x)=g(x)+ 2 \} \in \Sigma $

Question

Sea $(X, \Sigma )$ sea un espacio medible y $f,g: X \rightarrow \mathbb R$ sean funciones medibles. Demostrar que $\{x \in X : f(x)=g(x)+ 2 \} \in \Sigma $ . Puede utilizar el álgebra de funciones medibles.

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No estoy seguro de cómo hacerlo. Si $g$ es medible, entonces $\{x:g(x)>a\} \in \Sigma$ para todos $a \in \mathbb R$ . Entonces, ¿significa eso que desde $g(x)+2>a+2>a$ para todos $a$ tenemos $\{x:g(x)+2>a\} \in \Sigma$ ?

Answer 1

Si $[h \sim c]$ denota el conjunto $\{x\mid h(x) \sim c\}$ (donde $\sim$ es cualquier relación), observe que su conjunto es:

$$[f - g = 2] = [f - g \le 2] \cap [f - g \ge 2]$$

ambos medibles, ya que $f - g$ es medible.