Empezaré con una definición.
Una función monótona $f$ en $[a,b]$ se llama singular si $f'=0$ casi en todas partes.
Sea $f$ sea una función no decreciente sobre $[a,b]$ tal que dado $\epsilon~,~\delta\gt 0$ , $\exists$ una colección finita $\{[y_k,x_k]\}$ de intervalos no solapados tales que $$\sum |x_k-y_k|\lt \delta~\text{and}~~~~\sum\left(f(x_k)-f(y_k)\right)\gt f(b)-f(a)-\epsilon.$$
Me gustaría demostrar que $f$ es singular.
Intento:
En un ejercicio anterior, demostré que una función monótona $f$ puede escribirse como la suma de una función absolutamente continua, $g$ y una función singular, $h$ . Así $$ f = g + h ,~\text{where}g=\int_a^x f' .$$
Mi objetivo es demostrar que $g=0$ casi en todas partes. Deja que $I=\bigcup (y_k,x_k).$ Entonces $$ \int_I f' = \sum \int_{(x_k,y_k)}~f' = \sum\left(f(x_k)-f(y_k)\right)\lt \epsilon.$$
Ahora, sé que desde $f'$ es integrable, existe una $\epsilon$ tal que $$\int_{[a,b]\setminus I}~f'\lt \epsilon. $$ Pero $$\begin{align*} 0\leq \int_a^b f' & = \int_I f'+\int_{[a,b]\setminus I}~f'\\ & \lt \epsilon + \epsilon\\ & = 2\epsilon. \end{align*}$$
Desde $\epsilon$ es arbitraria, podemos dejar que $\epsilon \rightarrow 0$ y así $$ \int_a^b f'=0 \text{and }g = 0.$$
¿Está bien lo que he hecho? ¿Hay otra forma de enfocar el problema?
Merci.
