¿Cuál es el menor número cardinal de un conjunto que requiere el axioma de elección para demostrar que existe y no es vacío?

Question

Sea C(x) una fórmula perteneciente al lenguaje de ZFC en la que la variable "x" y no otra variable aparece libre. Supongamos que (una sentencia de este lenguaje equivalente a) la siguiente afirmación, es demostrable en ZFC pero no en ZF.

"Existe un conjunto no vacío Q tal que todo elemento x de Q satisface la fórmula C(x)"

PREGUNTA: ¿Cuál es el menor número cardinal que puede (demostrarse en ZFC) tener tal conjunto Q tener?

No conozco ningún ejemplo de tal conjunto Q que tenga un número cardinal menor que 2^(2^k) donde k es el número cardinal del contnuum. Ejemplos de tales conjuntos Q son el conjunto de todos los conjuntos incontables de números reales que no son mensurables en el sentido de Lebesgue o que no contienen ningún subconjunto perfecto.

Answer 1

Probablemente no te guste, pero la respuesta es cardinalidad 1.

Sea C(x) la afirmación "x=0 y se cumple el axioma de elección".

ZF no demuestra que cualquier x satisface C(x), ya que no demuestra AC. Si AC falla, entonces ninguna x puede tener C(x). Por lo tanto, ZF+¬AC demuestra que ningún x tiene C(x).

Pero ZFC demuestra que C(0) se cumple, y por lo tanto demuestra que Q={0} es el conjunto deseado.

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Adenda:

El conjunto { x | C(x) } es un conjunto indicador de AC, en el sentido de que es 0 o 1, dependiendo exactamente de si se cumple AC. Un truco similar funciona para construir conjuntos indicadores de cualquier afirmación.

He sugerido que la pregunta se centre en la posibilidad de enunciados proyectivos C(x). Un enunciado proyectivo es uno expresable en el lenguaje de la teoría de números de segundo orden, con cuantificadores sobre números reales y números naturales. Así, la pregunta sería si existe un enunciado proyectivo específico C(x) tal que ZFC demuestre que Q = { x | C(x) } es no vacío, pero ZF no.

Esta versión de la pregunta es exactamente equivalente a la pregunta de si ZFC no es conservativa sobre ZF para sentencias proyectivas, ya que si existe un contraejemplo C(X), entonces la afirmación $\exists x C(x)$ es demostrable en ZFC pero no en ZF, y si $\sigma$ es demostrable en ZFC pero no en ZF, entonces el conjunto {x | $\sigma$ } es ZFC provablemente todos los reales, pero ZF es consistente con que este conjunto esté vacío.

Por lo tanto, la pregunta equivale a: ¿No es ZFC conservador respecto a ZF para enunciados proyectivos?

Yo creo que no, pero no tengo un contraejemplo.

Mientras tanto, puedo decir que si uno reemplaza aquí ZF por ZF+DC, mirando la diferencia entre el Axioma de Elección completo y el Axioma de Elecciones Dependientes, en lugar de mirar la diferencia entre AC completo y no AC en absoluto, entonces la respuesta es que ES conservador. En esta respuesta MO , expliqué que ZFC es conservativo sobre ZF+DC para oraciones proyectivas, y por tanto si uno sustituye ZF por ZF+DC en la pregunta, la respuesta sería no. Pero sin DC pueden pasar cosas raras en los reales, y todavía no estoy muy seguro de ello.

Answer 2

Wilfrid Hodges ha demostrado que es consistente con ZF que exista un cierre algebraico $L$ del campo racional $\mathbb{Q}$ sin automorfismos no triviales. Obviamente $|Aut(L)\smallsetminus \{1\}| = 2^{\aleph_{0}}$ .

Ver: W. Hodges, El cierre algebraico de Läuchli de $\mathbb{Q}$ . Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 79 (1976), nº 2, 289--297