Me he encontrado con esta pregunta que se puede simplificar (con una generosa cantidad de manipulación) a una cuadrática. Aquí está: $$\left(\sqrt{49+20\sqrt6}\right)^{\sqrt {a \sqrt{a\sqrt{a\cdots \infty}}}}+(5-2\sqrt{6})^{x^2+x-3-\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}\cdots \infty}}}=10 $$ $ \text{ where } a=x^2-3,(a\neq 0), \text{ Solve for }$ $x$ .
Esto es lo que intenté:
Primero he intentado simplificar las potencias en la expresión dada
$$y={\sqrt {a \sqrt{a\sqrt{a\cdots \infty}}}} \\ \Rightarrow y=\sqrt{ay} \\ \Rightarrow y=a$$
Del mismo modo, la segunda potencia se reduce a $x^2-3$ (igual a $a$ ). También he condensado el primer término de la expresión. Así que nuestra ecuación se simplifica a $$(5+2\sqrt{6})^{x^2-3} +(5-2\sqrt{6})^{x^2-3}=10$$ Desde $5+2\sqrt{6} =\frac{1}{5-2\sqrt{6}}$ , $(5+2\sqrt{6})^{x^2-3}$ puede tomarse como $t$ para simplificar aún más la ecuación en: $$t^2-10t+1=0$$ Resolución de $t$ , obtenemos: $$ t=5 \pm2\sqrt{6}$$ introduciendo el valor de $t$ , obtenemos: $$(5+2\sqrt{6})^{x^2-3}=(5+2\sqrt{6}) \text{ or } (5+2\sqrt{6})^{x^2-3}=(5+2\sqrt{6})^{-1}$$ $\Rightarrow$ $x^2-3=\pm 1$ . Resolviendo esto se obtienen los valores de $x$ ser: $\pm 2 , \pm \sqrt{2}$ . $x$ no puede tomar los valores negativos ya que no satisfará el dominio de la pregunta original.
Por lo tanto, los posibles valores de $x$ puede ser $2$ o $\sqrt{2}$ . Pero la respuesta me dice $x$ sólo puede ser $2$ .
¿En qué me he equivocado o qué he pasado por alto?
