La prueba de que una función con una contables conjunto de discontinuidades es Riemann integrable sin la noción de medida

Question

Deje $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ser un almacén de función y $A$ ser el conjunto de sus discontinuidades. Estoy pidiendo un (directo) la prueba de que si $A$ es contable, a continuación, $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ que no de manera explícita, o implícitamente, requieren de la noción de conjuntos de medida $0$ ( y, por supuesto, sin el uso de la Lebesgue Criterio).

Uno podría hacerse la típica la prueba de la Lebesgue Criterio, hacer los ajustes necesarios y me dan la prueba de lo que estoy pidiendo. No quiero que, sin embargo, sino más bien de una forma más simple y más directa de la prueba de que en gran medida se basa en el hecho de que $A$ es contable. Una prueba de que no puede ser trivialmente alterado de modo que se mantiene incluso si $\lambda(A)=0$

EDIT: he Aquí la prueba de WimC con todos los detalles: Deje $\epsilon>0$ y $$D=\left\{d_1,d_2,...\right\}\subseteq A$$ be the countable set of discontinuities of $f$. Definir: $$I=\left\{x\in [a,b]:\exists \delta>0: \omega f((x-\delta,x+\delta)\cap [a,b])<\epsilon\right\}$$ Ahora $$x\in I\iff \exists \delta>0: \omega f((x-\delta,x+\delta)\cap [a,b])<\epsilon\iff [\left|y-x\right|<\delta\implies \omega f(y)<\epsilon]$$ y debido a que $\epsilon$ es de hecho arbitrario, $$x\in I\iff \text{ $f$ is continuous at $x$}$$ Además, si $x\in I$, $\exists \delta>0$ así que $$\omega f((x-\delta,x+\delta)\cap [a,b])<\epsilon$$ Si $y\in B(x,\delta)\cap [a,b]$. A continuación, $y\in I$ $I$ es abierto relativo a $[a,b]$.

Porque $I=[a,b]\setminus D$, $[a,b]=I\cup D$. Para $k\in \mathbb{N}$ definir $$D_k=\left(d_k-\frac{\epsilon}{M2^{k+1}},d_k+\frac{\epsilon}{M2^{k+1}}\right)\cap [a,b]$$ Obviamente $D\subset \bigcup_{k=1}^{\infty}D_k$ $[a,b]=I\cup \bigcup_{k=1}^{\infty}D_k$ (desde $D_k\subseteq [a,b]$). La compacidad de $[a,b]$ implica $[a,b]=I\cup \bigcup_{k=1}^{N}D_k$. Ahora $[a,b]\setminus \bigcup_{k=1}^{N}D_k$ es compacto (cerrado y acotado) y se incluye en $I$. Como tales, pueden ser cubiertos por $$F_x=(x-\delta_x,x+\delta_x)$$ donde $\delta_x>0:$ es elegido de manera que $\omega f((x-\delta_x,x+\delta_x)\cap [a,b])<\epsilon$. Compacidad implica la existencia de un número finito de subcover, $$[a,b]\setminus \bigcup_{k=1}^{N}D_k\subseteq \bigcup_{i=1}^{M}(x_i-\delta_i,x+\delta_i)$$ Como podemos sustituir los intervalos que se cruzan podemos suponer $$\bigcap_{i=1}^{M}[x_i-\delta_i,x+\delta_i]=\emptyset$$ Por lo tanto, $$[a,b]= \bigcup_{k=1}^{N}\overline{D}_k\cup \bigcup_{i=1}^{M}[x_i-\delta_i,x+\delta_i]=\bigcup_{i=0}^{n}[t_{i-1},t_i]$$ donde para $i\le n$, $[t_{i-1},t_i]= [x_k-\delta_k,x+\delta_k]$ o $[t_{i-1},t_i]= \overline{D}_k$ porque $$\bigcup_{k=1}^{N}\overline{D}_k\cap \bigcup_{i=1}^{M}[x_i-\delta_i,x+\delta_i]=\emptyset$$ Teniendo en cuenta todos los extremos de los de arriba (que son pares diferentes) podemos crear una partición $\mathcal{P}=\left\{a=t_0<...<t_n=b\right\}$$[a,b]$. Nos separamos de los índices: $A=\left\{i:[t_{i-1},t_i]= [x_k-\delta_k,x+\delta_k]\right\}$$B=\left\{i:[t_{i-1},t_i]= \overline{D}_k \right\}$. Por lo tanto, \begin{gather}U_{f,\mathcal{P}}-L_{f,\mathcal{P}}=\sum_{i=1}^n\omega f([t_{i-1},t_i])(t_i-t_{i-1})=\sum_{i\in A}\omega f([t_{i-1},t_i])\ell([t_{i-1},t_i])+\sum_{i\in B}\omega f([t_{i-1},t_i])\ell([t_{i-1},t_i])\\ \le \sum_{i\in A}2\left\|f\right\|\ell([t_{i-1},t_i])+\sum_{i\in B}\epsilon\ell(\overline{D}_k)\le 2\left\|f\right\|\frac{\epsilon}{M}+\epsilon(b-a)=2\epsilon+\epsilon(b-a)\end{reunir}

Mis preguntas son: ¿Es esto una prueba de la correcta? ( Dudo que el punto de: "donde para $i\le n$, $[t_{i-1},t_i]= [x_k-\delta_k,x+\delta_k]$ o $[t_{i-1},t_i]= \overline{D}_k$ porque $$\bigcup_{k=1}^{N}\overline{D}_k\cap \bigcup_{i=1}^{M}[x_i-\delta_i,x+\delta_i]=\emptyset$$ ") Segundo, puede ser simplificado?

Answer 1

Deje $M = \sup(f) - \inf(f)$ $[a,b]$ $D = \{d_0, d_1, \dotsc \} \subset [a,b]$ ser el contable conjunto de discontinuidades de $f$. Deje $\delta > 0$ y definen $I \subseteq [a,b]$ $$I = \{ x \in [a,b] \mid \sup(f) - \inf(f) < \frac{\delta}{b-a} \textrm{ on some neighbourhood of }x \}.$$ Then $I$ is open and contains all points where $f$ is continuous. In particular $[a,b] = I \copa D$. For $k \geq 0$ define the interval $D_k$ by $$D_k = \left(d_k-\frac{\delta}{M2^{k+2}}, \, d_k+\frac{\delta}{M2^{k+2}} \right) \cap [a,b].$$ Then $I$ together with all these intervals cover $[a,b]$ and because $[a,b]$ is compact it is already covered by a finite union $$[a,b] = I \cup D_0 \cup D_1 \cup \dotsc \cup D_n$$ for some $n \geq 0$. The complement $$[a,b] \setminus (D_0 \cup \dotsc \cup D_n)$$ is compact and contained in $I$ and can therefore be covered by open intervals such that $\sup(f)-\inf(f) < \delta/(b-a)$ on the closure of each. (Every point in $I$ has such a neighbourhood by definition.) By compactness a finite subcover of such intervals exists. Considering all end points in this subcover as possible cut points one can partition the complement into finitely many closed intervals such that $\sup(f) - \inf(f) \leq \delta/(b-a)$ on each. Finally the closure of $D_0 \cup \dotsc \copa D_n$ is itself a union of closed intervals with a total length less than $\delta/M$.

Todo el intervalo de $[a,b]$ es ahora particiones en un número finito de intervalos cerrados que admitir superior e inferior de las sumas de Riemann de $f$ que difieren a la mayoría de los $2\delta$. Desde $\delta$ puede ser elegido arbitrariamente pequeño, $f$ es Riemann integrable.

De hecho, este argumento funciona igual de bien para cualquier $D$ que puede ser cubierto por una contables de la unión de los intervalos de arbitrariamente pequeño de longitud total, es decir, para $D$ de medida $0$.