Deje $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ser un almacén de función y $A$ ser el conjunto de sus discontinuidades. Estoy pidiendo un (directo) la prueba de que si $A$ es contable, a continuación, $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ que no de manera explícita, o implícitamente, requieren de la noción de conjuntos de medida $0$ ( y, por supuesto, sin el uso de la Lebesgue Criterio).
Uno podría hacerse la típica la prueba de la Lebesgue Criterio, hacer los ajustes necesarios y me dan la prueba de lo que estoy pidiendo. No quiero que, sin embargo, sino más bien de una forma más simple y más directa de la prueba de que en gran medida se basa en el hecho de que $A$ es contable. Una prueba de que no puede ser trivialmente alterado de modo que se mantiene incluso si $\lambda(A)=0$
EDIT: he Aquí la prueba de WimC con todos los detalles: Deje $\epsilon>0$ y $$D=\left\{d_1,d_2,...\right\}\subseteq A$$ be the countable set of discontinuities of $f$. Definir: $$I=\left\{x\in [a,b]:\exists \delta>0: \omega f((x-\delta,x+\delta)\cap [a,b])<\epsilon\right\}$$ Ahora $$x\in I\iff \exists \delta>0: \omega f((x-\delta,x+\delta)\cap [a,b])<\epsilon\iff [\left|y-x\right|<\delta\implies \omega f(y)<\epsilon]$$ y debido a que $\epsilon$ es de hecho arbitrario, $$x\in I\iff \text{ $f$ is continuous at $x$}$$ Además, si $x\in I$, $\exists \delta>0$ así que $$\omega f((x-\delta,x+\delta)\cap [a,b])<\epsilon$$ Si $y\in B(x,\delta)\cap [a,b]$. A continuación, $y\in I$ $I$ es abierto relativo a $[a,b]$.
Porque $I=[a,b]\setminus D$, $[a,b]=I\cup D$. Para $k\in \mathbb{N}$ definir $$D_k=\left(d_k-\frac{\epsilon}{M2^{k+1}},d_k+\frac{\epsilon}{M2^{k+1}}\right)\cap [a,b]$$ Obviamente $D\subset \bigcup_{k=1}^{\infty}D_k$ $[a,b]=I\cup \bigcup_{k=1}^{\infty}D_k$ (desde $D_k\subseteq [a,b]$). La compacidad de $[a,b]$ implica $[a,b]=I\cup \bigcup_{k=1}^{N}D_k$. Ahora $[a,b]\setminus \bigcup_{k=1}^{N}D_k$ es compacto (cerrado y acotado) y se incluye en $I$. Como tales, pueden ser cubiertos por $$F_x=(x-\delta_x,x+\delta_x)$$ donde $ \delta_x>0:$ es elegido de manera que $\omega f((x-\delta_x,x+\delta_x)\cap [a,b])<\epsilon$. Compacidad implica la existencia de un número finito de subcover, $$[a,b]\setminus \bigcup_{k=1}^{N}D_k\subseteq \bigcup_{i=1}^{M}(x_i-\delta_i,x+\delta_i)$$ Como podemos sustituir los intervalos que se cruzan podemos suponer $$ \bigcap_{i=1}^{M}[x_i-\delta_i,x+\delta_i]=\emptyset$$ Por lo tanto, $$[a,b]= \bigcup_{k=1}^{N}\overline{D}_k\cup \bigcup_{i=1}^{M}[x_i-\delta_i,x+\delta_i]=\bigcup_{i=0}^{n}[t_{i-1},t_i]$$ donde para $i\le n$, $[t_{i-1},t_i]= [x_k-\delta_k,x+\delta_k]$ o $[t_{i-1},t_i]= \overline{D}_k$ porque $$\bigcup_{k=1}^{N}\overline{D}_k\cap \bigcup_{i=1}^{M}[x_i-\delta_i,x+\delta_i]=\emptyset$$ Teniendo en cuenta todos los extremos de los de arriba (que son pares diferentes) podemos crear una partición $\mathcal{P}=\left\{a=t_0<...<t_n=b\right\}$$[a,b]$. Nos separamos de los índices: $A=\left\{i:[t_{i-1},t_i]= [x_k-\delta_k,x+\delta_k]\right\}$$B=\left\{i:[t_{i-1},t_i]= \overline{D}_k \right\}$. Por lo tanto, \begin{gather}U_{f,\mathcal{P}}-L_{f,\mathcal{P}}=\sum_{i=1}^n\omega f([t_{i-1},t_i])(t_i-t_{i-1})=\sum_{i\in A}\omega f([t_{i-1},t_i])\ell([t_{i-1},t_i])+\sum_{i\in B}\omega f([t_{i-1},t_i])\ell([t_{i-1},t_i])\\ \le \sum_{i\in A}2\left\|f\right\|\ell([t_{i-1},t_i])+\sum_{i\in B}\epsilon\ell(\overline{D}_k)\le 2\left\|f\right\|\frac{\epsilon}{M}+\epsilon(b-a)=2\epsilon+\epsilon(b-a)\end{reunir}
Mis preguntas son: ¿Es esto una prueba de la correcta? ( Dudo que el punto de: "donde para $i\le n$, $[t_{i-1},t_i]= [x_k-\delta_k,x+\delta_k]$ o $[t_{i-1},t_i]= \overline{D}_k$ porque $$\bigcup_{k=1}^{N}\overline{D}_k\cap \bigcup_{i=1}^{M}[x_i-\delta_i,x+\delta_i]=\emptyset$$") Segundo, puede ser simplificado?
