Investigar el comportamiento de la secuencia $a_n=(n^{\frac{1}{n}}-1)^{n}$

Question

Mi intento: Deja $n=(1+x_n)^{n}$ entonces $n\ge (1+\frac{n(n-1)}{2}x_n)$

$x_n \le \frac{ (2)}{n}$

$0<(x_n)^n<( \frac{2}{n})^n$

Estoy atascado después de esto .. puede alguien ayudarme a partir de este paso en adelante

Answer 1

Sabemos por ici que

$$\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1$$

Esto implica que existe $N$ tal que $n\geq N$ implica

$$n^{1/n}<\frac{3}{2}$$

Entonces para $n\geq N$ tenemos

$$a_n=(n^{1/n}-1)^n<\left(\frac{3}{2}-1\right)^n=\frac{1}{2^n}$$

Desde $n^{1/n}\geq 1$ esto implica

$$0\leq (n^{1/n}-1)^n=a_n<\frac{1}{2^n}$$

para todos $n\geq N$ . Por el teorema de squeeze, concluimos

$$\lim_{n\to\infty}a_n=0$$