¿Cómo comprobar si una función de onda es continua o no? y ¿cómo hallar la probabilidad?

Question

¿Cómo encontrar si la siguiente función es continua? ¿Cómo encuentro su derivada? Además, ¿cómo puedo encontrar la probabilidad de encontrar la función en $x = a-2$ y $x = b+4$ ?

$$ \psi(x,0) =\frac{Ax}{a}, \ \ if \ 0 \leq x \leq a$$ $$ \psi(x,0) =\frac{A(b x)}{b a}, \ \ if \ a \leq x \leq b$$ $$ \psi(x,0) = 0, \ \ otherwise$$

Answer 1

Ambos $\frac{Ax}{a}$ y $\frac{A(b-x)}{(b-a)}$ son funciones polinómicas que cuando se grafican son funciones que no tienen huecos, ni saltos ni asíntotas y se comportan bien con límites, etc. Son funciones continuas sobre la recta real. Y para $0$ la función, obviamente, sólo tiene un valor en su dominio, por lo que también es continua.

Para hallar la derivada de esta función de onda, basta con tomar las derivadas de cada una de las reglas separadas.

En cuanto a encontrar la probabilidad de $x = a-2$ y $x = b+4$ debe recordar que $ΨΨ^{*}$ no es una función que nos dé la probabilidad de que una partícula se encuentre en un punto concreto del espacio, sino que es una densidad de probabilidad, lo que significa que podemos encontrar la probabilidad de que una partícula exista en una determinada región del espacio, pero no en un punto concreto. Técnicamente hablando, hay una cantidad infinita de puntos en el espacio, por lo que la probabilidad de que una partícula se encuentre en un punto cualquiera es, en realidad, cero. Hay que tener en cuenta que, contrariamente a la creencia popular, una probabilidad de cero no equivale necesariamente a imposible.

Por lo tanto, si quieres encontrar la probabilidad de que una partícula esté en una de esas regiones, simplemente integra la densidad de probabilidad sobre esa región.

Answer 2

$\Psi^*\Psi=|\Psi(x)|^2$ según la Regla de Born es el función de densidad de probabilidad $P(x)$ y no la "probabilidad puntual" en $x$ .

La probabilidad de encontrar la partícula en una pieza $\delta x$ del dominio de la partícula viene dado por (para una función de onda normalizada):

$$P(x, \delta x)=\int_x^{x+\delta x}\text{d}x|\Psi(x)|^2$$

Es evidente que para $\delta x=0$ $\Rightarrow P(x, \delta x)=0$ .

Así que el probabilidades puntuales en los dos puntos que estás viendo es efectivamente $0$ .

Es importante señalar esto, ya que muchos libros de texto abrevian perezosamente función de densidad de probabilidad a probabilidad . NO son lo mismo.