Función continua e integral positiva

Question

Actualmente estoy trabajando en este problema:

Sea $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ sea una función integrable tal que $f(x) \ge 0$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

1. Demostrar que $\int_a^bf(t)dt \ge 0$
2. Supongamos que existe $c \in (a,b)$ tal que $f$ es continua en $c$ y $f(c) > 0$ . Demostrar que $\int_a^bf(t)dt > 0$

Mi solución para la primera parte es que $\int_a^bf(t)dt$ es siempre mayor o igual que la suma inferior de Darboux $L(f)$ y puesto que $f(x) \ge 0$ tenemos $L(f) \ge 0$ Por lo tanto, la prueba está hecha.

Actualmente estoy atascado en la segunda parte. Este es mi progreso actual:

Desde $f$ es continua en $c$ , $\forall \epsilon >0$ , $\exists \delta > 0$ tal que si $|x - c| < \delta$ implica $|f(x) - f(c)| < \epsilon$ . Elija $\epsilon = f(c)$ tenemos $f(x) > 0$ si $x$ está en el intervalo $(c- \delta, c+\delta)$ . La misma analogía que la parte anterior muestra que $\int_a^bf(t)dt > 0$ para $x \in (c-\delta, c + \delta)$ .

No he encontrado la solución para la parte restante. ¿Alguien puede dar pistas?

Answer 1

1. Es una consecuencia directa de una definición de la integral.

2. No es cierto sin el supuesto $f(c)>0.$ Efectivamente, la función cero es un contraejemplo. Si asumimos lo que escribí, $f$ es positivo en una vecindad de $c$ entonces la integral es necesariamente positiva.