Multiplicadores de Lagrange $f(x,y)=10y^2-4x^2$

Question

Hallar los valores mínimo y máximo de la función $$f(x,y)=10y^2-4x^2$$ con la restricción $$g(x,y)=x^4+y^4=1$$ He realizado los siguientes trabajos; $$\frac{\partial f}{\partial x} = \lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\\frac{\partial f}{\partial y} = \lambda \frac{\partial g}{\partial y}$$$$-8x= \lambda 4x^3\\20y= \lambda 4y^3$$$$x(2- \lambda x^3)=0\\y(5- \lambda y^3)=0$$$$\lambda x^3=2\\\lambda y^3=5$$ Mi pregunta es cómo puedo encontrar el valor de lambda para que se cumpla la restricción.

Answer 1

Hay errores en tus dos ecuaciones. $$x(2+\lambda x^2)=0$$ $$y(5-\lambda y^2)=0$$ Ahora bien, si $\lambda\ge 0$ de la primera ecuación obtenemos $x=0$ . Si $\lambda\le 0$ de la segunda ecuación obtenemos, $y=0$ . Por lo tanto, en los puntos óptimos, al menos una de las coordenadas es $0$ . Por lo tanto, los puntos óptimos necesarios son $(\pm1,0)$ y $(0,\pm1)$ al poner la restricción.

Answer 2

Su sistema de ecuaciones es $$\left\{\begin{array}{l}-8x=4\lambda x^3\\20y=4\lambda y^3\\x^4+y^4=1.\end{array}\right.$$ Si $x=0$ entonces, obviamente, puede tomar $y=\pm1$ y si $y=0$ obviamente puede tomar $x=\pm1$ estas son las únicas soluciones en las que uno de los números $x$ ou $y$ es $0$ .

Y ya no hay soluciones. De hecho, si $x,y\neq0$ se deduce de las dos primeras ecuaciones que $x^2=-\frac2\lambda$ y que $y^2=\frac5\lambda$ . Esto es imposible, por supuesto: si $\lambda>0$ no existe tal $x$ y si $\lambda<0$ no existe tal $y$ .

Answer 3

$$-4=-4\sqrt{x^4+y^4}\leq10y^2-4x^2\leq10\sqrt{x^4+y^4}=10.$$ La igualdad se produce para $(x,y)=(1,0)$ para la desigualdad de la izquierda y para $(x,y)=(1,0)$ para la desigualdad de la derecha, que dice que tenemos el valor mínimo y el valor máximo.

Answer 4

Las soluciones por multiplicadores de Lagrange se muestran arriba. Pero si te gusta un método tradicional, aquí tienes uno. Una forma es bajar la "potencia" de la restricción, a saber: $x^4+y^4 =1$ . Así que pongamos $a = x^2, b = y^2$ Así pues $a, b \ge 0$ y $a^2+b^2=1$ Así tenemos: $f(a,b) = 10b-4a$ con $a^2+b^2=1$ y $a,b \ge 0$ A partir de aquí podemos utilizar una sustitución trigonométrica: $a = \cos \theta, b = \sin \theta, \theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$ y tenemos: $f(\theta) = 10\sin \theta - 4\cos \theta, \theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$ . Tomando la derivada de $f$ que tenemos: $f'(\theta) = 10\cos \theta + 4\sin \theta > 0 \implies f_{\text{min}} = f(0) = -4, f_{\text{max}} = f(\frac{\pi}{2}) = 10$ como se afirma.

Answer 5

Un enfoque diferente sin utilizar multiplicadores de Lagrange:

Sea $x^2=\cos\theta$ y $y^2=\sin\theta$ donde $\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ .

$f(\theta)=10\sin\theta-4\cos\theta$

$f'(\theta)=10\cos\theta+4\sin\theta$

$f'(\theta)=0$

$\implies 10\cos\theta+4\sin\theta=0$

Observamos que esto es imposible para cualquier valor de $\theta$ en nuestro dominio. Por lo tanto, el máximo y el mínimo se producen en los puntos finales.

$f(0)=-4$

$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=10$

Por lo tanto, el valor mínimo es $-4$ y el valor máximo es $10$ .