Pregunta sobre Probabilidad de ganar dos veces seguidas de tres

Question

Bien, me he topado con una interesante cuestión de probabilidad que me ha dejado perplejo para llegar a una conclusión sólida.

Suponga que está jugando una partida de cartas con dos oponentes, $A$ y $B$ . Supongamos que la probabilidad de ganar contra $A$ es mayor que ganar contra $B$ . Probabilidades de ganar contra $A$ ou $B$ son independientes. Jugarás contra estos oponentes de uno en uno en orden alterno. Sólo recibirá un pago si es capaz de ganar dos partidas seguidas de una serie de tres.

Si pudiera elegir, ¿elegiría $A$ (es decir, jugaría $ABA$ ) o $B$ primero (Tocaría $B A B$ )

Mi instinto me dice que sería mejor que eligieras $A$ primero, pero como dos victorias seguidas implicarían vencer a $A$ y $B$ No estoy convencido de que importe.

Tengo curiosidad por saber si existe una explicación más matemática que mi instinto.

Answer 1

Podemos calcular las probabilidades directamente.

Hay tres configuraciones que llevan dos victorias seguidas: $WWW,$ $WWL$ ou $LWW.$ Sea $p_A$ sea la probabilidad de vencer $A$ y $p_B$ para $B$ para que $p_A>p_B.$

Para $ABA$ las probabilidades son $$P(WWW) = p_Ap_Bp_A \\P(WWL) = p_Ap_B(1-p_A) = P(LWW).$$ La suma de las tres da una probabilidad total de $ p_Ap_B(2-p_A).$

Para $BAB$ se obtiene igualmente $p_Ap_B(2-p_B).$

Así que parece que es mejor con $BAB!$

¿Qué está pasando aquí? Dado que tu capacidad para conseguir dos seguidas depende de forma bastante crucial de conseguir la del medio, en realidad es mejor tener la más fácil en el medio y arriesgarte con $B$ en el exterior.

Answer 2

Sea $p$ es la probabilidad de ganar una ronda contra $A$ y $q$ que contra $B$ para algunos $p>q$ .

La probabilidad de ganar dos partidos seguidos de tres, si empiezas a jugar $A$ es: $$P_A~{=\mathsf P(wwl\cup www\cup lww\mid ABA)\\= pq+(1-p)qp\\= (2-p)pq}$$

La probabilidad de ganar dos partidos seguidos de tres, si empiezas a jugar $B$ es: $$P_B~{=\mathsf P(wwl\cup www\cup lww\mid BAB)\\= qp+(1-q)pq\\= (2-q)pq}$$

Desde $p>q$ Por lo tanto $P_A<P_B$

Intuitivamente, tus posibilidades de ganar dos rondas seguidas aumentan si las rondas exteriores son las más fáciles de ganar, ya que sin duda debes ganar la ronda central si quieres ganar la partida.   Si puedes ganarla, entonces tienes dos oportunidades de ganar contra el otro jugador; así que haz que sean las más fáciles.

O en términos más sencillos: para ganar la partida hay que ganar dos veces a un jugador y una vez al otro, y la mejor forma de conseguirlo es elegir el objetivo más fácil como contra el que jugar dos veces.