Dadas las dos propiedades siguientes de la tabla de multiplicar, demuestre que $G$ es un grupo.

Question

Me he encontrado con el siguiente problema:

Tenga en cuenta la $1$ se define como el elemento unitario. Es decir, $1\cdot g=g\cdot 1=g$ para todos $g\in G$ .

Sea $G$ sea un conjunto finito con composición binaria y unidad. Demuestre que $G$ es un grupo si y sólo si la tabla de multiplicar tiene las siguientes propiedades:

• cada fila y cada columna contiene todos los elementos de $G$ ;

• para cada par de elementos $x\neq 1,y\neq 1$ de $G$ , dejemos que $R$ sea cualquier rectángulo en el cuerpo de la tabla que tenga 1 como uno de sus vértices, $x$ como vértice en la misma fila que 1, $y$ un vértice en la misma columna que 1, entonces el cuarto vértice del rectángulo depende sólo del par $(x,y)$ y no en la posición de 1.

Mis pensamientos hasta ahora:

Creo que la dirección de avance es relativamente fácil de mostrar. Si $G$ es un grupo, entonces cualquier ecuación de la forma $ax=b$ ou $ya=b$ tiene solución en $G$ lo que equivale a la primera propiedad. Para la segunda propiedad, supongamos que elegimos un 1 en la tabla de multiplicar que viene dada por $xy$ entonces $yx$ también es 1. Supongamos entonces que elegimos un $a$ en la fila que contiene el 1, y elija $b$ en la columna que contiene el 1. Entonces existe $\tilde{a}$ y $\tilde{b}$ en $G$ tal que $x\tilde{a}=a$ y $\tilde{b}y=b$ . Por lo tanto $ba=(\tilde{b}y)(x\tilde{a})=\tilde{b}(yx)\tilde{a}=\tilde{b}\tilde{a}$ . Pero $\tilde{b}\tilde{a}$ es el cuarto elemento, por lo que sólo depende de $a$ y $b$ demostrando la propiedad 2.

Sin embargo, hace tiempo que estoy atascado en la otra dirección. Creo que en este caso, la propiedad 1 sigue implicando que toda ecuación de la forma $ax=b$ y $ya=b$ tiene solución, ya que si consideramos la $a$ -ya que contiene todos los elementos de $G$ contiene $b$ por lo que existe otro elemento $x$ tal que $ax=b$ . Lo mismo ocurre con la otra ecuación. Por lo tanto, si puedo demostrar $G$ es un semigrupo, entonces se deduce que $G$ es un grupo. Aquí es donde está el problema. Creo que debería demostrar que la operación es asociativa, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. He estado jugando con la idea que utilicé antes para mostrar el sentido directo, pero no parece aplicable aquí porque no se ha establecido ni la asociatividad ni la existencia de inversa. ¿Cómo debo proceder?

¡Gracias por leer, cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

FranzNietzsche dio una pista muy buena en el comentario anterior, pero yo fui demasiado lento para captar inmediatamente la idea. También he encontrado un esbozo de prueba en esta página web . Ya que nadie ha respondido, me responderé a mí mismo.

Como describí en la pregunta original, la propiedad 1 implica toda ecuación de la forma $ax=b$ ou $ya=b$ tiene solución (nótese que la propiedad 1 implica que cada elemento de $G$ tiene un inverso izquierdo y un inverso derecho, pero no son necesariamente iguales). Entonces basta con demostrar $G$ es un semigrupo. La propiedad 1 garantiza que la operación está definida y bien definida, por lo que queda demostrar la asociatividad.

Consideremos en primer lugar un rectángulo de la tabla de multiplicar cuyo único vértice es $1$ dado por $(1,1)$ . Elija $x$ en la fila, y $y$ en la columna. Entonces el cuarto vértice es naturalmente $yx$ .

$$\begin{array}{c|c c} &1&x\\ \hline 1&1&x\\ y&y&yx\\ \end{array}$$ Ahora bien, si elegimos cualquier otro rectángulo de la tabla de multiplicar, con $1$ como un vértice (no necesariamente dado por $(1,1)$ ), $x$ como el otro vértice horizontal, y $y$ como el otro vértice vertical, entonces la propiedad 2 implica que el cuarto vértice tiene que ser $yx$ ya que, esté donde esté, este rectángulo debe ser el mismo que el señalado anteriormente, en vista de la propiedad 2.

$$\begin{array}{c|c c c c c} &1&&&&\\ \hline 1&&&&&\\ \\ &&&1&x&\\ &&&y&z&\\ & \end{array}$$ Si $z=1$ entonces trivialmente tenemos $(xy)z=xy=x(yz)$ . Supongamos $z\neq 1$ . Considera la siguiente tabla: $$\begin{array}{c|c c c c c} &1&&y&&\\ \hline 1&1&&y&&v\\ \\ a&&&1&&z\\ \\ x&x&&xy&&w \end{array}$$ En este caso, asumimos $xy\neq 1$ Así que $ay=1$ para algunos $a\neq x$ . En el rectángulo $y-1-z-v$ (arriba a la derecha), debemos tener $v=yz$ por la observación anterior. En el rectángulo $1-xy-w-z$ (abajo a la derecha), tenemos igualmente $w=(xy)z$ . Pero en el rectángulo $1-x-w-v$ (periférico), tenemos $w=xv=x(yz)$ . Por lo tanto $(xy)z=x(yz)$ en este caso.

El caso en que $xy=1$ es más fácil. Considéralo: $$\begin{array}{c|c c c c c} &1&&y&&\\ \hline 1&1&&y&&v\\ \\ x&x&&1&&z\\ \\ \end{array}$$ A continuación, en el rectángulo $y-1-z-v$ (derecha), tenemos $v=yz$ . A continuación, en el rectángulo $1-x-z-v$ (periférico), tenemos $z=xv=x(yz)$ . Pero como $xy=1$ tenemos $z=1\cdot z=(xy)z$ . Por lo tanto, tenemos de nuevo $(xy)z=x(yz)$ .

La asociatividad está demostrada. Así $G$ es un semigrupo, y se deduce que $G$ es un grupo.