El último teorema de Fermat en los enteros ciclotómicos.

Question

Kummer demostró que no existen soluciones no triviales de la ecuación de Fermat FLT(n): $x^n + y^n = z^n$ con $n > 2$ natural y $x,y,z$ elementos de un anillo ciclotómico regular de enteros $K$ .

Busco soluciones no triviales a la ecuación de Fermat FLT(p) en el anillo entero ciclotómico $\mathbb{Z}[\zeta_{p}]$ para primos irregulares p o cualquier información sobre cómo deben ser las soluciones (como paso previo a su construcción).

George Lowther señaló en un debate anterior que por Criterio de Kolyvagin cualquier solución en $\mathbb{Z}[\zeta_{37}]$ debe estar en el segundo caso.

Answer 1

Esta respuesta llega un poco tarde; lo siento.

La prueba de Kummer de la no resolubilidad de $x^p + y^p = z^p$ para primos regulares $p$ utilizaba "números ideales" (en lenguaje actual: ideales) y estaba intacta, al menos básicamente. Hilbert en su Zahlbericht dio una prueba modificada. Ambas pruebas cubren no números enteros racionales, sino también números en $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ . Por otra parte Por otra parte, el segundo resultado de Kummer relativo a los primos irregulares que satisfacen ciertas condiciones adicionales se refiere sólo a los enteros racionales (aunque Hilbert, en la muy última sección del Zahlbericht, dice erróneamente que Kummer había demostrado este resultado para los números enteros racionales. $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ también). Por lo tanto, no se puede excluir la posibilidad de que exista una solución $(x,y,z)$ para $p=37$ . Y debido al "criterio de Kolyvagin" sobre $(2^{37}-2)/37$ esta solución debe pertenecer al segundo caso, es decir, al menos uno de estos tres números $x,y,z$ en $\mathbb{Z}[\zeta_{37}]$ debe tener un factor común con $37$ (como menciona George Lowther).

Por cierto, este criterio también fue demostrado por Taro Morishima en 1935 (Japón. J. Math. 11, 241-252, Satz 1; pero atención: Satz 2 o al menos su demostración es incorrecta ya que se basa en un resultado incorrecto de Vandiver).

No sé cómo encontrar tal solución $(x,y,z)$ .

Answer 2

Respuesta muy tardía, pero dado que sigue sin resolverse, responderé a su pregunta. Por la respuesta de Tauno, cualquier solución debe pertenecer al segundo caso, que en $\mathbb{Z}[\zeta]$ parece $x^p+y^p=z^p$ con $1-\zeta \mid z$ y $x,y$ ambos coprimos con $1-\zeta$ . El segundo caso tampoco tiene solución en este anillo según otro criterio de Kolyvagin (de otro artículo: " Fermat Equations over Cyclotomic Fields").
Los criterios generales son un poco complicados para escribirlos aquí, pero los principales son los siguientes $p=37$ satisface un criterio más sencillo (que se aplica tanto al primer caso como al segundo): 1) Si el índice de irregularidad $=1$ con $p \mid B_i$ y 2) existe un primo $l \equiv 1 (\text{mod} \ p)$ para lo cual $x^p+y^p=z^p$ sólo tiene soluciones triviales módulo $l$ y $(1-\zeta(l))^{(l-3)}$ , $(1-\zeta(l))^{(i)}$ no son $p$ -enésima potencia módulo $l$ entonces la ecuación de Fermat no tiene soluciones en $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ . Aquí $\zeta(l)$ es una primitiva $p$ -enésima raíz de la unidad módulo $l$ (que existe desde $p \mid (l-1)$ ) y $a^{(j)}$ es el $j$ -enésimo componente de $a \in \mathbb{F}_l^{\times}/(\mathbb{F}_{l}^{\times})^p$ relativa a la descomposición del espacio eigénico de este grupo para los operadores $\varepsilon_j = -\sum_{a=1}^{p-1}a^j\sigma_{a}^{-1}$ .
Dado que el índice de irregularidad de $37$ es $1$ con $37 \mid B_{32}$ y $x^{37}+y^{37}=z^{37}$ sólo tiene soluciones triviales módulo $l=149=1+4\times 37$ entonces tomando $\zeta(149)=16$ calculamos que $(1-16)^{(34)}$ y $(1-16)^{(32)}$ no son $37$ -enésima potencia módulo $149$ . Por lo tanto $p=37$ cumple los criterios.