No es posible proporcionar una expresión explícita para una solución no lineal. La razón es que (es un resultado folclórico que) un aditivo $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ es lineal si es medible.
(Este resultado se puede encontrar en una variedad de lugares, es un ejercicio estándar en los libros de teoría de la medida. En el momento de escribir esto, hay una prueba corta aquí ( Archivo de Internet ).)
La cuestión es que es coherente que todo conjunto de reales sea medible, y por tanto toda función $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ es medible.
El primero en darse cuenta de que es posible utilizar la elección para construir una función aditiva no lineal fue Hamel en 1905 ( Hamel, G. , Una base de todos los números y las soluciones discontinuas de la ecuación funcional: (f(x+y) =f(x) +f(y)). Matemáticas. Ann. 60, 459-462 (1905). ZBL36.0446.04 .); de hecho, una base Hamel de ${\mathbb R}$ en ${\mathbb Q}$ nos permite ofrecer ejemplos. Obsérvese que con una base de Hamel es sencillo construir el ejemplo estándar de Vitali de un conjunto no mensurable.
Solovay ( Solovay, R. M. , Un modelo de teoría de conjuntos en el que todo conjunto de reales es medible en Lebesgue Ann. Math. (2) 92, 1-56 (1970). ZBL0207.00905 .) demostró que, en relación con la consistencia de un cardinal inaccesible, mediante forzamiento podemos demostrar que es consistente con ZF + DC que todos los conjuntos de reales sean medibles de Lebesgue (DC es el axioma de elección dependiente, una versión débil del axioma de elección útil para desarrollar la teoría básica del análisis). De ello se deduce que, en el modelo de Solovay, todas las funciones aditivas son lineales y, por tanto, no es posible ningún ejemplo "explícito".
El otro enfoque estándar para los modelos en los que todos los conjuntos de reales son medibles es a través de la determinación. Sin embargo, esto requiere un compromiso más fuerte en términos de fuerza de consistencia (utilizando $\omega$ Woodin cardinales podemos forzar un modelo interno de determinismo). Ambos enfoques están estrechamente relacionados: Suponiendo cardinales suficientemente grandes, el modelo interno $L({\mathbb R})$ formado por todos los conjuntos construibles a partir de reales es un modelo de determinismo, y un modelo Solovay. Nótese que se trata de un teorema (a partir de cardinales suficientemente grandes) más que de un resultado de consistencia, es decir, $L({\mathbb R})$ es un modelo de estas declaraciones, sin necesidad de pasar a una extensión forzosa.
El resultado de Solovay sí requiere un cardinal inaccesible, este es un resultado de Shelah ( Shelah, Saharon , ¿Puede llevarse lo inaccesible de Solovay? Isr. J. Math. 48, 1-47 (1984). ZBL0596.03055 .). Esto deja la cuestión de si (la consistencia de) ZF basta para producir un modelo en el que todos los mapas aditivos son lineales. Pero esto se resuelve ahora fácilmente: En el mismo trabajo, Shelah demostró que es relativamente consistente con ZF que todos los conjuntos de reales tengan la propiedad de Baire . Las pruebas estándar de que la aditividad y la mensurabilidad dan linealidad funcionan con la "mensurabilidad de Baire" en lugar de la mensurabilidad de Lebesgue.
Permítanme terminar, sin embargo, señalando que, en modelos apropiados de la teoría de conjuntos, podemos construir "explícitamente" mapas aditivos no lineales. Más precisamente, en modelos internos agradables, tenemos explícitamente definibles bien ordenaciones de los reales, de la que tales mapas se pueden construir. Por ejemplo, en el modelo interno L de conjuntos construibles de Gödel, hay una base de Hamel fácilmente definible (véase este MO), a partir de la cual podemos definir fácilmente dicha función. "Fácilmente" se formaliza en términos de jerarquía proyectiva. La base de Hamel que obtenemos es $\Pi^1_1$ y la función es $\Sigma^1_2$ .
(Por cierto, la afirmación "existe una función aditiva discontinua" es la forma 366 en Howard-Rubin "Consecuencias del axioma de elección". El muy recomendable compañero sitio web no revela ninguna implicación adicional de tipo elección respecto a esta forma. En particular, sólo menciona el modelo de Solovay para su negación, pero no el de Shelah. Lamentablemente, el último enlace no funciona actualmente, pero véase este Wayback Machine copia de seguridad .)
