Ecuación de Euler para un sistema con restricciones integrales

Question

La cuestión es:

Encontrar todas las curvas $y(x)$ con $y(1) = y(1) = 0$ que extreman el funcional $\int_{-1}^1 x^2 + (y)^2 dx$ con sujeción a la restricción $\int_{-1}^1y^2 dx = 1$ .

He utilizado un multiplicador de Lagrange y he encontrado la ecuación de Euler-Lagrange que se reduce a $$y'' - \lambda y = 0$$

Y entonces eso da tres soluciones diferentes para $y$ en función del signo de $\lambda$ . El problema es que cuando intento resolver los coeficientes utilizando la restricción y las condiciones de contorno, se sigue reduciendo a la trivial $y=0$ lo que me hace pensar que me estoy equivocando en alguna parte. ¿Alguna idea?

Answer 1

Pistas:

1. Tenga en cuenta que $x^2$ término no juega ningún papel en el proceso de extremización, así que lo dejaremos de lado a partir de ahora. Además, para mayor comodidad, vamos a desplazar el intervalo de $[-1,1]$ a $[0,2]$ . Además, en comparación con OP, adoptamos la convención de signo opuesto para el Multiplicador de Lagrange $\lambda$ .

2. La restricción $$\int_0^2 \! dx~ y^2~=~1\tag{1}$$ puede considerarse como la normalización de la función de onda en mecánica cuántica.

3. Las condiciones de contorno de Dirichlet (BC) $$y(0)~=~0~=~y(2) \tag{2}$$ corresponde al pozo de potencial infinito/partícula en una caja .

4. El funcional de OP se convierte en el funcional de energía $$E[y,\lambda]~:=~\int_0^2 \! dx ~y^{\prime 2} +\lambda\left( 1-\int_0^2 \! dx~y^2\right) ~=~\lambda + \int_0^2 \! dx \underbrace{\left(y^{\prime 2} -\lambda y^2\right)}_{=:~L} . \tag{3}$$

5. En Ecuación de Euler-Lagrange (EL) se convierte en TISE $$-y^{\prime\prime}~=~\lambda y.\tag{4}$$

6. Todas las soluciones a la EL eq. (4), BCs (2) & restricción (1) son los estados propios de energía $$y_n(x)~=~\sin\frac{n\pi x}{2}, \qquad \lambda_n~=~\left(\frac{n\pi}{2}\right)^2,\qquad n~\in\mathbb{N}.\tag{5}$$

7. El valor del funcional en los puntos estacionarios son la energía $$S[y_n,\lambda_n]~=~\ldots~=~\lambda_n .\tag{6}$$

8. La energía del estado mínimo/tierra viene dada por la $n=1$ solución. No hay energía máxima.