Deje $R$ ser un anillo conmutativo (con $1$) y $R^{n \times n}$ ser el anillo de $n \times n$ matrices con entradas en $R$.
Además, supongamos que el $R$ es un anillo en el que cada elemento no nulo es un divisor de cero o de una unidad [Por ejemplo: tomar cualquier finito de anillo o de cualquier campo.] Mi pregunta:
Es todo elemento no nulo de a $R^{n \times n}$ un divisor de cero o de una unidad así?
Sabemos que si $A \in R^{n \times n}$, $AC=CA=\mathrm{det}(A)I_n$ donde $C$ es la clásica adjunto de $A$ $I_n$ es la matriz identidad.
Esto significa que si $\mathrm{det}(A)$ es una unidad de $R$, $A$ es una unidad de $R^{n \times n}$ (desde $A^{-1}=(\mathrm{det}(A))^{-1}C$). También, a la inversa se mantiene, si $A$ es una unidad de $R^{n \times n}$, $\mathrm{det}(A)$ es una unidad.
Me gustaría saber si se puede demostrar que $0 \not= A \in R^{n \times n}$ es un divisor de cero si $\mathrm{det}(A)$ es cero o un divisor de cero.
Cosas a considerar:
1) Esto es cierto cuando se $R=\mathbb{F}$ a un campo. Desde más de un campo (sin divisores de cero) y si $\mathrm{det}(A)=0$ $Ax=0$ no trivial de la solución y por lo $B=[x|0|\cdots|0]$ nos da un cero a la derecha del divisor $AB=0$.
2) Usted no puede utilizar la clásica adjunto para la construcción de un divisor de cero, ya que puede ser cero, incluso cuando $A$ no es cero. Por ejemplo:
$$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{implies} \qquad \mathrm{classical\;adjoint} = 0 $$ (Todos los $2 \times 2$ sub-son los factores determinantes de cero.)
3) Esto es cierto cuando se $R$ es finito (desde $R^{n \times n}$ sería finita).
4) por supuesto, la suposición de que cada elemento no nulo de a $R$ es un divisor de cero o de la unidad es necesario porque de lo contrario, tomar un no-cero, cero divisor, no elemento unidad $r$ y la construcción de la matriz diagonal $D = \mathrm{diag}(r,1,\dots,1)$ (esto es distinto de cero, no es un divisor de cero, y no es una unidad).
Edit: No totalmente ajenos... http://mathoverflow.net/questions/42647/rings-in-which-every-non-unit-is-a-zero-divisor
Edit: Una cosa más a tener en cuenta...
5) Esto es sin duda cierto al$n=1$$n=2$. Es cierto para $n=1$ por supuesto $R$. A ver que $n=2$ es cierto aviso que el clásico adjunto contiene los mismos elementos que la de $A$ (o negaciones):
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad \mathrm{classical\;adjoint} = C = \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $$
Por lo tanto si $\mathrm{det}(A)b=0$ algunos $b \not=0$, entonces cualquiera de las $bC=0$, de modo que todas las entradas de ambos $A$ $C$ son aniquilados por $b$, de modo que $A(bI_2)=0$ o $bC \not=0$$A(Cb)=\mathrm{det}(A)bI_2 =0I_2=0$. Por lo tanto $A$ es un divisor de cero.
