dado que $ker[T]=ker[T^2]$ demostrar que $ker[T]\cap im[T]=\{{0}\}$

Question

Siento que estoy atascado, dado que $ker[T]=ker[T^2]$ Necesito demostrar que $ker[T]\cap im[T]=\{{0}\}$ , ahora, sé que necesito usar ese $ker[T]\subseteq ker[T^2]$ y también utilizar $ker[T^2]\subseteq ker[T]$ . pero realmente no se como. ¿podría darme alguna pista, por favor?

Answer 1

Supongamos que $\;x\in\ker T\cap\text{Im}\,T\;$ entonces $\;Tx=0\;$ y también existe un vector $\;v\;$ tal que $\;x=Tv\;$ pero entonces

$$0=Tx=T(Tv)=T^2v\implies v\in\ker T^2\stackrel{\text{given!}}=\ker T\implies0=Tv=x$$

y hemos terminado

Answer 2

Toma $v \in ker(T)\cap Im(T)$ entonces $v = Tu$ . Ahora aplica $T$ en ambos lados y utiliza lo que sabes sobre los granos. ¿Puedes terminar?