Un problema de números de Fibonacci(por favor ayúdame que 1 respuesta es mía)

Question

La sucesión de Fibonacci se define del siguiente modo: $F_0=0$ , $F_1=1$ et $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para todos los números enteros $n\ge 2$ . Hallar el menor número entero positivo $m$ tal que $F_m\equiv 0 \pmod {127}$ y $F_{m+1}\equiv 1\pmod {127}$ .

Realmente llegué a conocer una solución, que es difícil para los principiantes, utiliza endorfismos de Frobenius, campos y reciprocidad cuadrática. También llegué a conocer acerca de este : $F_p=(\frac{p}{5})\mod{p}$ y $F_{p-(\frac{p}{5})}=0\mod{p}$ . Pero me temo que no puedo probarlo. Estoy publicando la respuesta difícil a continuación. Pero, ¿puede alguien ayudarme a demostrar la afirmación anterior? Sé que el módulo $5$ los únicos residuos son $0,1,4$ pero esto es muy duro. Por favor, ¿puede proporcionar cualquier solución elemental o pista agradable?

Answer 1

La respuesta es $\boxed{256}$ . Por definición, $m$ es el período de $\{F_n\}$ mod $127$ .

Sea $\phi_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $\phi_2 = 1-\phi_1$ sean las soluciones de $x^2-x-1=0$ . Tenga en cuenta que $\left( \dfrac{5}{127} \right) = \left( \dfrac{127}{5} \right) = -1$ por Reciprocidad Cuadrática que $\sqrt{5}\in \mathbb F_{127^2}, \sqrt{5}\not \in \mathbb F_{127} \implies \phi_1,\phi_2\in \mathbb F_{127^2}, \phi_1,\phi_2 \not \in \mathbb F_{127}$ .

Ahora que tenemos $\left( \phi_1^{127} \right)^2 - \left( \phi_1^{127} \right) -1 = \left( \phi_1^2 - \phi -1 \right)^{127} = 0$ sur $\mathbb F_{127^2}$ por el endorfismo de Frobenius. De ello se deduce que $\phi_1^{127}$ es una raíz de $x^2-x-1=0$ Así que $\phi_1^{127} \in \{ \phi_1, \phi_2 \}$ .

Pero si $\phi_1^{127} = \phi_1$ entonces $\phi_1 \in \mathbb F_{127}$ una contradicción, por lo tanto $\phi_1^{127} = \phi_2$ Así que $\phi_1\phi_2=-1$ produce $\phi_1^{128}=-1 \implies \phi_1^{256}=1$ y del mismo modo $\phi_2^{256}=1$ .

Por la fórmula de Binet tenemos $F_m = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi_1^m - \phi_2^m\right)$ . Así que ya sabemos $F_{m+256} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi_1^{m+256} - \phi_2^{m+256} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi_1^m - \phi_2^m \right) = F_m$ sur $\mathbb F_{127^2}$ así que por periodicidad sabemos $m|256$ .

Pero un cálculo similar da como resultado $F_{m+128} = -F_m$ sur $\mathbb F_{127^2}$ Así que $m\not | 128$ Por lo tanto $m=256$ .