Estoy haciendo una pregunta de Inferencia estadística de Casella y Berger, (4.58c). Tengo problemas con la breve solución que mi profesor discutió.
$X$ y $Y$ son variables aleatorias con varianzas finitas.
Prueba $V[Y - E(Y|X)] = E[V(Y|X)]$
Entiendo que por la identidad de varianza condicional podemos decir
$$V[Y - E(Y|X)] = E[V[[Y-E(Y|X)] \ | \ X]] + V[E[[Y-E(Y|X)] \ | \ X ]]$$
pero luego las soluciones del profesor se saltan algunos pasos y dicen que esto es igual a
$$ = E[V(Y|X)] +V[E(Y|X)-E(Y|X)]$$
Ahora tengo muy poca intuición para tratar con condicionales dobles. Mi conjetura para cómo llenar los espacios en blanco aquí es que, digamos para el siguiente término, yo debería ser capaz de "distribuir" el condicional así:
$$E[V[[Y-E(Y|X)] \ | \ X]] = E \bigg[ V(Y|X) - V(E(Y|X)|X) \bigg]$$
¿o estaría esto completamente fuera de lugar? Siento que he hecho algo mal desde $V(X-Y) = V(X) + V(Y) - 2Cov(X,Y)$ pero no estoy seguro de cómo la condicional en $X$ se distribuiría en una función de covarianza.
En otro comentario que me hicieron, se señalaba que " $E(Y|X)$ es constante con respecto al $(Y|X)$ distribución". Pero no sé muy bien qué pensar. Estoy suponiendo que en algún lugar puedo tomar la varianza de lo que termina siendo una constante, y esto me permitirá establecerlo igual a 0 y simplificar el problema.
Así que, en resumen, cualquier ayuda o pista sobre cómo completar los pasos aquí sería apreciada.
