Resolución de la integral definida $\int_{0}^{2} \sqrt{(1+x)\sqrt{4x+1}-3x+1}dx$

Question

Necesito resolver la integral definida: $$\int_{0}^{2} \sqrt{(1+x)\sqrt{4x+1}-3x+1}dx$$ La integral me la propuso mi profesor de geometría algebraica como ejercicio de calentamiento, nos insinuó que investigáramos sobre funciones elípticas y curvas, pero no encuentro nada relacionado con esta integral. He probado la sustitución y la integración por partes, pero no consigo reducir el problema.

Ya he resuelto la integral probando la convergencia de la serie de Taylor alrededor de $x_0=2$ e integrando dicha serie de potencias. Pero, es sólo una aproximación, ya que no puedo integrar términos infinitos.

¿Es posible resolverlo analíticamente? ¿Qué me falta?

Answer 1

Para una pesadilla, mira la antiderivada dada por Wolfram Alpha . Si te gustan las integrales elípticas y los números complejos, supongo que estarás más que contento.

Usando los límites de integración, el resultado es un monstruo. Numéricamente, $$I=3.23567625418595545329101113302458555831569511979865687\cdots$$

Interesante (por lo divertido) es que una calculadora simbólica inversa proponga, como aproximación el recíproco de la raíz más pequeña de la ecuación cúbica $$15572 x^3+13982 x^2-78333 x+22414=0$$

Esto supone un error relativo de $3.1\times 10^{-19}$ .