Expectativa de la variable aleatoria indexada por la variable aleatoria

Question

Sea $X_1,\ldots,X_n$ sean variables aleatorias, cada una con una expectativa $\mu_{1},\ldots,\mu_{n}$ . Además $\pi$ sea una RV que toma valores en $\left\{1,\ldots,n\right\}$ . En la literatura sobre aprendizaje automático, se afirma que $\mathbb{E}[X_{\pi}]=\mathbb{E}[\mu_{\pi}]$ . ¿Es cierto?

Sé que por la propiedad de la torre, se mantiene $\mathbb{E}[X_{\pi}]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X_{\pi}|\pi]]$ donde $\mathbb{E}[X_{\pi}|\pi]$ es la expectativa condicional de $X_{\pi}$ en relación con el $\sigma$ -generada por $\pi$ . La intuición dice que $\mathbb{E}[X_{\pi}|\pi]=\mu_{\pi}$ desde $X_{\pi}$ se convierte en un VR con índice determinista al conocer $\pi$ .

Sin embargo, no consigo demostrar que $\mathbb{E}[\mathbb{I}_{\left\{\pi=k\right\}}\mu_{\pi}]=\mathbb{E}[\mathbb{I}_{\left\{\pi=k\right\}}X_{\pi}]$ , $\forall k\in [n]$ y, por lo tanto $\mu_{\pi}$ es la versión de $\mathbb{E}[X_{\pi}|\pi]$ .

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Creo que pueden conectarse mediante una forma correcta de pensar.

En primer lugar, para $\mathbb{E}[\mu_{\pi}]$ el experimento es $\pi$ y los resultados son $\{\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\}$

$\mathbb{E}[\mu_{\pi}]=\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}P(\pi=i)$

Para $\mathbb{E}[X_{\pi}]$ El experimento consta de dos partes. Primero se hace $\pi$ . Da un resultado $i\in\{1,2,...,n\}$ . entonces, después de saber qué variable aleatoria $X_i$ que tienes, haces el experimento $X_i$ que es $P(X_i=j|\pi=i)$ . Por lo tanto, suponiendo que $\pi$ y $X_i $ son independientes, se obtiene

$\mathbb{E}[X_{\pi}]=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j} P(\pi=i)P(X_i=j|\pi=i)\times j$

Entonces,

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j} P(\pi=i)P(X_i=j|\pi=i)\times j=\sum_{i=1}^{n} P(\pi=i) \sum_{j} P(X_i=j|\pi=i)\times j$

Entonces, utilizando la definición de valor esperado de una variable aleatoria

$\sum_{i=1}^{n} P(\pi=i) \sum_{j} P(X_i=j|\pi=i)\times j=\sum_{i=1}^{n} P(\pi=i)E(X_i|\pi=i)=\sum_{i=1}^{n} P(\pi=i)\mu_i$