Combinación para encontrar números enteros que cumplan una condición

Question

Sea $n$ y $k$ sean enteros positivos tales que $n\ge\frac{k(k+1)}{2}$ . El número de soluciones $(x_1,x_2,\dots,x_{k})$ con $x_1\ge1$ , $x_2\ge2$ ,..., $x_{k}\ge k$ para todos los números enteros que cumplan $x_1+x_2+\dots+x_{k}=n$ ¿lo es?

He sustituido la última ecuación en la primera desigualdad. $$x_1+x_2+\dots+x_{k}\ge\frac{k(k+1)}{2}.$$ Tomó $x_1$ como $1+ t_1$ , $x_2$ como $2+t_2$ ...donde $t_i\ge 0$ . Al simplificar utilizando la suma de k números, termino con $t_1+t_2+\dots+t_{k} \ge0$ . Desde $x_1,x_2$ ... están en orden creciente, y la suma de todos $t$ es $0$ concluyo que esto sólo es posible cuando $t=0$ . Por lo tanto, sólo es posible una solución cuando $LHS = RHS$ . La desigualdad no es válida.

Pero la respuesta es $\frac{1}{2}(2n-k^2+k-2)$ . ¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

No, la secuencia $x_1,x_2,\dots,x_{k}$ no es necesariamente creciente, por lo que su conclusión no es correcta.

Sea $t_k=x_k-k\geq 0$ entonces tenemos que contar el número de soluciones enteras no negativas de $$t_1+t_2+\dots+t_k=n-\frac{k(k+1)}{2}$$ que es, por Estrellas y barras dado por $$\binom{n-\frac{k(k+1)}{2}+k-1}{k-1}=\binom{\frac{2n-k^2+k-2}{2}}{k-1}.$$

P.D. Mi respuesta es correcta. Probablemente hay un error tipográfico en su libro. El número entero $\binom{\frac{2n-k^2+k-2}{2}}{k-1}$ es precisamente el coeficiente de $t^n$ en $$ (t + t^2 +t^3+ \dots)(t^2 + t^3 +t^4+\dots)\dots (t^k + t^{k+1}+t^{k+2}+\dots),$$ es decir $$[t^n]\prod_{j=1}^k\frac{t^j}{1-t}=[t^{n-\frac{k(k+1)}{2}}](1-t)^{-k} =(-1)^{{n-\frac{k(k+1)}{2}}}\binom{-k}{n-\frac{k(k+1)}{2}}=\binom{n-\frac{k(k+1)}{2}+k-1}{k-1}.$$ Ejemplo numérico. Tomemos $n=8$ y $k=3$ entonces es fácil ver que $$ (t + t^2 +t^3+ \dots)(t^2 + t^3+ t^4 +\dots)(t^3 + t^{4}+t^{5}+\dots) =t^6+3t^7+6t^8+\dots$$ y el coeficiente de $t^8$ es $6$ : $$\binom{\frac{16-9+3-2}{2}}{3-1}=\binom{4}{2}=6.$$