Límite bivariante $\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy-y}{x^2-2x+1+y^2}$

Question

Me pidieron que resolviera el siguiente límite bivariante. Me gustaría saber si mi planteamiento es válido y si hay una forma mejor de hacerlo

$$\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy-y}{x^2-2x+1+y^2}$$

Usé un cambio de fase y reescribí como esto:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+1)y-y}{(x+1)^2-2(x+1)+1+y^2}$$

Simplifica un poco:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy+y-y}{x^2+2x+1-2x-2+1+y^2}$$

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$$

Convertir a polar:

$$\lim_{r\to 0}\frac{r^2\cdot\cos\theta\cdot\sin\theta}{r^2}$$

$$\lim_{r\to0}\cos\theta\cdot\sin\theta$$

Puesto que nuestra respuesta es en términos de $\theta$ el límite DNE.

Answer 1

Ya que has pedido una forma mejor de hacerlo, te ofreceré una forma de verlo que es más directa, aunque realmente me gusta más tu enfoque que éste, ya que tu enfoque no implica fijarse en caminos concretos. No obstante, lo atribuiremos a la subjetividad.

Después de hacer el cambio de variables y simplificar, se tiene el límite $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ . A lo largo de la línea $y = 0$ se reduce al límite $\lim_{x \to 0} \frac{0}{x^2} = 0$ . Por otra parte, a lo largo de la línea $y = x$ tenemos $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = 1/2$ . Esta diferencia es dirección viola la definición del límite, ya que en cualquier vecindad pequeña de $0$ los valores se acercan arbitrariamente a ambos $0$ y $1/2$ .

Así es como se suele demostrar la inexistencia. Elegir $y$ sea algún polinomio en $x$ o elegir uno de ellos para que sea $0$ para que el límite sea fácil de evaluar a lo largo de esa línea/curva, y tratando de forzar que el límite tome dos valores diferentes en el mismo punto como hicimos aquí.