Diferencia Entre Tensoring y Acuñamiento.

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial y $\omega\in \otimes^k V$. Hay $2$ formas (al menos) de pensar acerca de la $\omega\otimes \omega$.

1) Podemos pensar de $\otimes^k V$ como un espacio vectorial $W$, e $\omega\otimes \omega$ como miembro de $W\otimes W$.
2) Podemos pensar de $\omega\otimes \omega$ como miembro de $\otimes^{2k}V$.

Las dos interpretaciones son "iguales" porque $W\otimes W$ es naturalmente isomorfo a $\otimes^{2k} V$.

Sin embargo, la situación es un poco diferente cuando se habla de "cuña".

Deje $\eta\in \Lambda^k V$. Queremos preguntarnos acerca de $\eta\wedge \eta$.

1) Vamos a $W=\Lambda^k V$ y creo que de $\eta\wedge \eta$ como miembro de $\Lambda^2 W$. A continuación, $\eta\wedge \eta=0$ por super-conmutatividad de la cuña de producto.

2) Creo que de $\eta\wedge\eta$ como miembro de $\Lambda^{2k}V$. A continuación, $\eta\wedge \eta$ puede no ser $0$.

Tal vez esta confusión no se plantearía si escribimos $\wedge_V$ más que el $\wedge$, para cuando acuñamiento debemos recordar que la base del espacio. Por otra parte, no hay tal cosa como la toma de la cuña producto de dos espacios vectoriales, el pensamiento podemos hablar de tensor producto de dos espacios vectoriales.

Ciertamente, mi mente no está completamente claro aquí. Puede alguien arrojar algo más de luz sobre los diferentes comportamientos de los tensoring y acuñamiento.

Answer 1

Esto no es realmente una respuesta directa, pero es demasiado largo para un comentario.

Un dato curioso sobre la cuña de la construcción es que $\bigwedge^n V$ puede ser (functorially) se dio cuenta, ya sea como un subespacio de $\bigotimes^n V$ o como un cociente. (Estas realizaciones son canónicamente isomorfo cuando la característica del campo subyacente es $0$ o mayor que $n$, pero de lo contrario no son canónicamente isomorfo.)

Aunque el cociente de la construcción tiende a ser más natural, a menudo es útil pensar sobre el subespacio de la construcción. La pequeña cuña símbolo significa diferentes cosas, dependiendo de su construcción.

En el cociente de la construcción, $\bigwedge^n V$ es el cociente de $\bigotimes^n V$ por el subespacio generado por los símbolos con la repetición de los vectores, y el símbolo $v_1 \wedge \ldots \wedge v_n$ significa que "la imagen de la $v_1 \otimes \ldots \otimes v_n$ bajo el cociente mapa".

En el subespacio de la construcción, por otro lado, $\bigwedge^n V$ es el subespacio de $\bigotimes^n V$ que $S_n$ a través de actos el carácter de signo y el símbolo $v_1 \wedge \ldots \wedge v_n$ significa (según la convención y en el si $n! = 0$ en el campo) $$\sum_{\sigma \en S_n} (-1)^{\text{signo}(\sigma)} v_{\sigma(1)}\otimes \ldots \otimes v_{\sigma(n)}$$ o $$\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \en S_n} (-1)^{\text{signo}(\sigma)} v_{\sigma(1)}\otimes \ldots \otimes v_{\sigma(n)}.$$ (La segunda convención tiene la ventaja de que en virtud de la natural "mapa del subespacio de interpretación para el cociente de interpretación" es compatible con la notación, y la desventaja de que solo está disponible en carácter de primer a $n!$).

Ahora vamos a pensar acerca de $\bigwedge^2 \bigwedge^n V$ frente al $\bigwedge^{2n} V$ en términos de la subespacio de interpretación. El primero es el subespacio de $\bigotimes^2 \bigwedge^n V$ que $S_2$ hechos por el carácter de signo, que es el subespacio de $\bigotimes^2 \bigotimes^n V$ que $S_2$ $S_n$ actuar de forma independiente por el carácter de signo. En virtud de la natural "de desentrañar el mapa" $$\bigotimes^2(\bigotimes^n V) \a \bigotimes^{2n} V$$ tenemos el subespacio de $\bigotimes^{2n} V$ que $(S_n \times S_n) \rtimes S_2 < S_{2n}$ a través de actos el producto de la señal de caracteres. Pero este es un débil, y diferentes, la demanda de exigir que todos los de $S_{2n}$ actuar a través del carácter de signo, por lo que este subespacio es más grande.

(EDIT: ver los comentarios para obtener más detalles.) En términos de la teoría de la representación, su observación podría ser reformulada de la siguiente manera: Escribir $G = (S_n \times S_n) \rtimes S_2.$, Entonces existe un natural de la incrustación de $G \hookrightarrow S_{2n}$. Ahora para un campo $k$ no es un personaje único,$G \to k^\times$, lo que restringe el carácter de signo de cada una de las $S_n$ y el carácter de signo de $S_2$. Hay también un carácter $G \to k^\times$ mediante la incrustación de $G \hookrightarrow S_{2n}$, seguido por el carácter de signo de $S_{2n}$. Estos personajes no son los mismos.