Convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in}}{n}$

Question

Cómo analizar la convergencia de la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in}}{n}$$ ?

¿Qué prueba debo utilizar?

Estoy perdido en estos temas. Cualquier pista / ayuda será apreciada.

Answer 1

pista

$$e^{in}=\cos (n)+i\sin (n) $$

con la prueba de Dirichlet para $$\sum \frac {\cos (n)}{n} $$ y $$\sum \frac {\sin (n)}{n} $$ utilizando $$e^i+e^{2i}+...e^{ni}=$$ $$e^{i(n-1)/2}\frac {\sin (n/2)}{\sin (1/2)} $$

Answer 2

En la prueba de Dirichlet descrita aquí Toma $a_n = \frac{1}{n}$ y $b_n = e^{in}$ . A continuación, compruebe las condiciones requeridas para la serie $\sum a_nb_n$ para converger.

$$a_{n+1} = \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n} = a_n$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} = 0$$ $$\left|\sum_{n=1}^{N} b_n\right| = \left|\sum_{n=1}^{N} e^{in}\right| \leq \left|\frac{1}{\sin(1/2)}\right| = M$$

La respuesta utiliza $\sum\limits_{n=1}^{N}e^{in} = e^{i(N-1)/2}\frac{\sin(N/2)}{sin(1/2)}$ como se muestra en la respuesta de @Salahamam_Fatima.

Answer 3

Multiplicar por $1-e^i\ne 0$ para obtener la serie $$ e^i-\sum_{n=2}^\infty \frac{e^{in}}{n(n-1)} $$ que es absolutamente convergente.

En principio, se trata de la aplicación directa del método de prueba de la prueba de Dirichlet.