Centralizador : subgrupo central ~ normalizador : subgrupo normal ~ ?: grupo cociente

Question

Subgrupo centralizador: $$C_G(A)=\{g\in G\mid gag^{-1}=a,\forall a\in A\}$$ Subgrupo del centro: $$Z(G)=\{g\in G\mid ga=ag,\forall a\in G\}$$

Centralizador y centro son subgrupos de $G$ . El centralizador toma un subconjunto $A\in G$ y el centro siempre utiliza todo el grupo $G$ . Así, el centralizador se convierte en centro cuando $A=G$ $$ C_G(G)= Z(G). $$

Mis preguntas son las siguientes:

1. ¿En virtud de qué preciso matemáticas condiciones que el normalizador $N_G(A)$ igual a un subgrupo normal $N$ de $G$ ? ¿Cuándo $N_G(A)$ no igual a un subgrupo normal $N$ ? Véanse algunos ejemplos.

2. Dado que el grupo cociente es el $G/N$ ¿existen conceptos análogos de cociente (no subgrupo) para $G/N_G(A)$ ¿Qué propiedades o teoremas son importantes?

En resumen, estoy agotando los conceptos de

Centralizador : subgrupo central ~ normalizador : subgrupo normal ~ ?: grupo cociente

Answer 1

El normalizador funciona "al revés" de lo que usted cree. El normalizador de $A$ sur $G$ es el mayor subgrupo de $G$ que contiene $A$ y en el que $A$ es normal.

Eso es, $N_G(A) =\{g\in G:gA=Ag\}$ . Por su propia definición, $A$ es normal en $N_G(A)$ . Sin embargo, $N_G(A)$ puede no ser un subgrupo normal de $G$ Parece que ya tiene ejemplos de ello. No estoy seguro de que debas esperar ninguna condición "razonablemente general" que garantice que un normalizador es normal, sino más bien, el otros alrededor.

Una forma en que los normalizadores y centralizadores interactúan con los cocientes es la siguiente: cada elemento $g\in N_G(A)$ define un automorfismo de $A$ por conjugación, y por tanto existe un mapa $N_G(A) \longrightarrow \mathrm{Aut}(A)$ que asigna $g$ al automorfismo $a\longmapsto {}^ga$ . Por definición, el núcleo de este mapa es el centralizador de $A$ sur $G$ por lo que se obtiene el "lema NC" de que $C_G(A)$ es normal en $N_G(A)$ y que $N_G(A)/C_G(A)$ es isomorfo a un subgrupo de $\mathrm{Aut}(A)$ .